Machine Learning——Linear Model

本系列博客是我学习周志华的《机器学习（西瓜书）》的自学笔记。
我是零基础学习，因此所写只是书上的知识，肯定不全面，以后随着学习的深入，慢慢补充吧。

基本形式

• 给定由$d$个属性描述的示例$x=(x_1;x_2;\cdots ;x_d)$，其中$x_i$是$x$在第$i$个属性上的取值，线性模型$(linearmodel)$试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即$$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_d{x}_d+b,$$一般用向量形式写成$$f(x)=w^{T}x+b,$$其中$w=(w_1;w_2;\cdots ;w_d)$，即为$x$的权重，$w$和$b$学得之后，模型就得以确定.

Linear Regression（线性回归）

• 给定数据集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_m,y_m)\}$，其中$x_i=(x_{i1};x_{i2};\cdots ;x_{id}),y_i\in R.$
• 线性回归（linear regression）试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测实值输出标记。
• $x_i$即为属性，对于离散属性：
  • 若属性值之间存在“序”（order）关系，可以通过连续化将其转化为连续值。比如“高”、“矮”转化为{1.0，0.0}；“高”、“中”、“低”可以转化为{1.0，0.5，0.0}.
  • 若属性间不存在序关系，假定有$k$个属性值，则通常转化为$k$维向量。比如“西瓜”、“南瓜”、“黄瓜”转化为(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0).
• 线性回归试图学得$$f(x_i)=w{x}_i+b,使得f(x_i)\simeq y_i.$$
• 为了确定$w$和$b$，我们引入损失函数（Loss Function） 的概念。损失函数有很多种，在回归任务中最常用均方误差（也称为平方损失square loss） 这一性能度量。
• 台湾大学的李宏毅老师称之为损失函数（Loss Function），斯坦福的吴恩达老师称之为代价函数（Cost Function），我的理解就是，所谓的损失函数指的就是模型的误差，让误差最小，就是让损失函数取最小值。
• 因此，我们需要让均方误差最小化，即$$(w^{\ast },b^{\ast })=\underset{(w,b)}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m(f(x_i)-y_i{)}^2=\underset{(w,b)}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m(y_i-w{x}_i-b{)}^2.$$
• 均方误差对应了常用的欧几里得距离或简称欧氏距离（Euclidean distance）。
• 基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为最小二乘法（least square method）。
• 在线性回归中，最小二乘法就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧氏距离之和最小。
• 求解$w$和$b$使$E_{(w,b)}={\sum }_{i=1}^m(y_i-w{x}_i-b{)}^2$最小化的过程，称为线性回归模型的最小二乘“参数估计”（parameter estimation）.
• 我们将$E_{(w,b)}$分别对$w$和$b$求导，得到$$\frac{\partial E_{(w,b)}}{\partial w}=2(w\sum _{i=1}^m{x}_i^2-\sum _{i=1}^m(y_i-b)x_i),$$ $$\frac{\partial E_{(w,b)}}{\partial b}=2(mb-\sum _{i=1}^m(y_i-w{x}_i)),$$然后令上述两式为零，可得$w$和$b$最优解的闭式(closed-form)解：$$w=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i(x_i-\bar{x})}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\frac{1}{m}({\sum }_{i=1}^m{x}_i{)}^2},$$ $$b=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-w{x}_i),$$其中$\bar{x}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{x}_i$为$x$的均值.
• 当样本由$d$个属性描述，此时我们试图学得$$f(x_i)=w^T{x}_i+b,使得f(x_i)\simeq y_i,$$这称为多元线性回归（multivariate linear regression）.此时的“多元”指的是样本属性。
• 对于多元线性回归，我们把数据集$D$表示为一个$m\times (d+1)$大小的矩阵$X$，其中每行对应一个示例，该行前$d$个元素对应于示例的$d$个属性值，最后一个元素恒置为1，即$$X=\left[\begin{array}{ccccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1d}& 1\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2d}& 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ x_{m1}& x_{m2}& \cdots & x_{md}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{x}_1^T& 1\\ x_2^T& 1\\ ⋮& ⋮\\ x_m^T& 1\end{array}\right]$$把$w$和$b$吸收入向量的形式$\hat{w}=(w;b)$，把$y$也写成向量形式$y=(y_1;y_2;\cdots ;y_m)$，有$${\hat{w}}^2=\underset{\hat{w}}{\mathrm{argmin}}(y-X\hat{w}{)}^T(y-X\hat{w})$$令$E_{\hat{w}}=(y-X\hat{w}{)}^T(y-X\hat{w})$，对$\hat{w}$求导得到$$\frac{\partial E_{\hat{w}}}{\partial \hat{w}}=2X^T(X\hat{w}-y).$$令上式为零可得$\hat{w}$最优解的闭式解。
• 由于上式涉及到矩阵逆的计算，我们需要讨论：
  • 当$X^{T}X$为满秩矩阵(full-rank matrix)或正定矩阵(positive definite matrix)时，令$\frac{\partial E_{\hat{w}}}{\partial \hat{w}}$为零可得$${\hat{w}}^{\ast }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y,$$令$\widehat{x_i}=(x_i,1)$，则最终学得的多元线性回归模型为$$f(\widehat{x_i})={\widehat{x_i}}^T(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y.$$
  • 现实任务中，$X^{T}X$一般不是满秩矩阵。此时可解出多个$\hat{w}$，它们都能使均方误差最小化。然后根据学习算法的偏好决定，将选择哪一个解输出，常见的作法是引入正则化项(regularization)。
• 对数线性回归(log-linear regression)：
  • 当我们希望线性模型的预测值逼近真实标记$y$时，我们把线性回归模型简写为$$y=w^{T}x+b.$$
  • 假设上式多对应的输出标记是在指数尺度上变化，那就可以将输出标记的对数作为线性模型逼近的目标，即$$\ln y=w^{T}x+b.$$
  • 实际上是在试图让$e^{w^{T}x+b}$逼近$y$。
• 广义线性模型(generalized linear model)：
  • 考虑单调可微函数$g(\cdot )$，令$$y=g^{-1}(w^{T}x+b),$$其中函数$g(\cdot )$称为“联系函数”（link function）。
  • 显然，对数线性回归是广义线性模型在$g(\cdot )=ln(\cdot )$时的特例。

Logistic Regression（对数几率回归）

• 应用于二分类任务。
• 对于二分类任务，输出标记$y\in \{0,1\}$，而线性回归产生的预测值$z=w^{T}x+b$是实数值，因此，我们需要将实数值转换为0/1值。最理想的是单位跃阶函数(unit-step function)：$$y=\{\begin{array}{l}0,z<0\\ 0.5,z=0\\ 1,z>0\end{array}$$
• 但是单位跃阶函数不连续，因此，我们需要找到一个近似单位跃阶函数的替代函数(surrogate function)，并且是单调可微函数。
• 近似单位跃阶函数的替代函数，我们选择对数几率函数(logistic function)：$$y=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
• 下图显示 单位跃阶函数 和 对数几率函数 的图像：
  
• 根据图像可知，对数几率函数是一种Sigmoid函数（形似$S$的函数），它将$z$值转换为接近$0$或$1$的$y$值，并且其输出值在$z=0$附近变化很陡。
• 因为$y=g^{-1}(w^{T}x+b)$，即$g(y)$，将对数几率函数作为$g(\cdot )$带入得：$$y=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}$$变化得：$$\ln \frac{y}{1-y}=w^{T}x+b$$
• 若将$y$视为样本$x$作为正例的可能性，则$1-y$即作为反例的可能性，则二者的比值$$\frac{y}{1-y}$$称为几率(odds)，反映$x$作为正例的相对可能性。对几率取对数，则得到对数几率(log odds，logit)：$$\ln \frac{y}{1-y}.$$
• 对数几率回归的优点：
  • 直接对分类可能性进行建模，无需事先建设数据分布，从而避免假设分布不准确所带来的问题。
  • 可以得到近似概率预测，对许多需利用概率辅助决策的任务很有用。
  • 对率函数是任意阶可导的凸函数，有很好的数学性质，现有的许多数值优化算法都可直接用于求取最优解。
• 求解$y=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}$的$w$和$b$：
  • 若将式$y=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}$中的$y$视为类后验概率估计$p(y=1|x)$，则式$\ln \frac{y}{1-y}=w^{T}x+b$可被重写为：$$\ln \frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}=w^{T}x+b$$
  • 显然有：$$p(y=1|x)=\frac{e^{w^{T}x+b}}{1+e^{w^{T}x+b}},(1)$$ $$p(y=0|x)=\frac{1}{1+e^{w^{T}x+b}}.(2)$$
  • 于是，我们可以通过极大似然法(maximum likelihood method)来估计$w$和$b$.给定数据集$\{{(x_i,y_i)}_{i=1}^m\}$，对率回归模型最大化对数似然(log-likelihood)：$$\ell (w,b)=\sum _{i=1}^m\ln p(y_i|x_i;w,b),(3)$$即令每个样本属于其真实标记的概率越大越好。
  • 为了便于讨论，，令$\beta =(w;b),\hat{x}=(x;1)$，则$w^{T}x+b$可以简写为${\beta }^T\hat{x}$，再令$p_1(\hat{x};\beta )=p(y=1|\hat{x};\beta ),p_0(\hat{x};\beta )=p(y=0|\hat{x};\beta )=1-p_1(\hat{x};\beta )$，则上式中的似然项可重写为：$$p(y_i|x_i;w,b)=y_i{p}_1(\widehat{x_i};\beta )+(1-y_i)p_0(\widehat{x_i};\beta )(4)$$
  • 将（4）带入（3），再根据（1）和（2）可知，最大化式（3）等价于最小化：$$\ell (-\beta )=\sum _{i=1}^m(-y_i{\beta }^T\widehat{x_i}+\ln (1+e^{{\beta }^T\widehat{x_i}})).$$上式是关于$\beta$的高阶可导连续凸函数，根据凸优化理论，经典的数值优化算法如梯度下降法、牛顿法等都可求得其最优解，于是就得到：$${\beta }^{\ast }\underset{\beta }{\mathrm{argmin}}l(\beta )$$

线性判断分析（LDA）

• 线性判断分析(Linear Discriminant Analysis，简称LDA)是一种经典的线性学习方法，在二分类问题上，最早由Fisher提出，也称之为Fisher判别分析。
• LDA思想：
  • 给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离；
  • 在对新鲜本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定新鲜本的类别。
  • 下图是二位示意图：
    
• 给定数据集$D=\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^m,y_i\in \{0,1\}$，令$X_i、{\mu }_i、{\Sigma }_i$分别表示第$i\in \{0,1\}$类示例的集合、均值向量、协方差矩阵。
  • 若将数据投影到直线$w$上，则两类样本的中心在直线上的投影分别为$w^T{\Sigma }_{0}w$和$w^T{\Sigma }_{1}w.$
  • 由于直线是一维空间，因此$w^T{\mu }_0、w^T{\mu }_1、w^T{\Sigma }_{0}w和w^T{\Sigma }_{1}w$均为实数.
• 想要使同类样例的投影点尽可能接近，可以让同类样例投影点的协方差尽可能小，即$w^T{\Sigma }_{0}w+w^T{\Sigma }_{1}w$尽可能小；
• 想要使异类样例的投影点尽可能远离，可以让类中心之间的距离尽可能大，即$||w^T{\mu }_0-w^T{\mu }_1|{|}_2^2$尽可能大.
• 同时考虑，以上两者，则可得到欲最大化的目标：：$$J=\frac{||w^T{\mu }_0-w^T{\mu }_1|{|}_2^2}{w^T{\Sigma }_{0}w+w^T{\Sigma }_{1}w}=\frac{w^T({\mu }_0-{\mu }_1)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^{T}w}{w^T({\Sigma }_0+{\Sigma }_1)w}.（\star ）$$定义类内散度矩阵(within-class scatter matrix)$$S_w={\Sigma }_0+{\Sigma }_1=\sum _{x\in X_0}(x-{\mu }_0)(x-{\mu }_0{)}^T+\sum _{x\in X_1}(x-{\mu }_1)(x-{\mu }_1{)}^T$$以及类间散度矩阵(between-class scatter matrix)$$S_b=({\mu }_0-{\mu }_1)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^T,$$则（$\star$）式可重写为$$J=\frac{w^T{S}_{b}w}{w^T{S}_{w}w}.(\star \star )$$这就是$LDA$欲最大化的目标，即$S_b$与$S_w$的广义瑞利商(generalized Rayleigh quotient).
• 确定$w$：
  • 式（$\star \star$）的分子和分母都是关于$w$的二次项，因此它的解与$w$的长度无关，只与方向有关。不失一般性，令$w^T{S}_{w}w=1,$则式（$\star \star$）等价于$$\underset{w}{\min }-w^T{S}_{b}w,当w^T{S}_{w}w=1时.（\star \star \star ）$$
  • 对上式及约束条件构造拉格朗日函数：$$L(w,\lambda )=-w^T{S}_{b}w+\lambda (w^T{S}_{w}w-1)$$对$w$求偏导可得$$\frac{\partial L(w,\lambda )}{\partial w}=-\frac{\partial (w^T{S}_{b}w)}{\partial w}+\lambda \frac{\partial (w^T{S}_{w}w-1)}{\partial w}=-(S_b+S_b^T)w+\lambda (S_w+S_w^T)w$$由于$S_b=S_b^T,S_w=S_w^T$，所以$$\frac{\partial L(w,\lambda )}{\partial w}=-2S_{b}w+2\lambda S_{w}w$$令上式等于0即可得$$-2S_{b}w+2\lambda S_{w}w=0,$$ $$S_{b}w=\lambda S_{w}w.$$由于我们求解的只有$w$，所以$\lambda$的值可以被任意设定，我们注意到$$S_{b}w=({\mu }_0-{\mu }_1)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^{T}w$$如果令$w$恒等于$({\mu }_0-{\mu }_1{)}^{T}w$，那么上式即可改写为$$S_{b}w=\lambda ({\mu }_0-{\mu }_1)$$将其代入$S_{b}w=\lambda S_{w}w$即可解得$$w=S_w^{-1}({\mu }_0-{\mu }_1)$$
• 考虑到数值解的稳定性，在实践中通常是对$S_w$进行奇异值分解，即$S_w=U\Sigma V^T$，这里的$\Sigma$是一个实对角矩阵，其对角线上的元素是$S_w$的奇异值，然后再由$S_w^{-1}=V{\Sigma }^{-1}{V}^T$得到$S_w^{-1}$
• 将$LDA$推广到多分类任务中：
  • 假定存在$N$个类，且第$i$类示例数为$m_i$.
  • 我们先定义全局散度矩阵：$$S_t=S_b+S_w=\sum _{i=1}^m(x_i-\mu )(x_i-\mu {)}^T,$$其中$\mu$是所有示例的均值向量.
  • 将类内散度矩阵$S_w$重定义为每个类别的散度矩阵之和，即$$S_w=\sum _{i=1}^N{S}_{w_i},$$其中$$S_{w_i}=\sum _{x\in X_i}(x-{\mu }_i)(x-{\mu }_i{)}^T.$$
  • 综上三式得：$$S_b=S_t-S_w=\sum _{i=1}^N{m}_i({\mu }_i-\mu )({\mu }_i-\mu {)}^T$$
  • 多分类$LDA$可以有多种实现方法：使用$S_b,S_w,S_t$三者中的任何两个即可.
  • 常见的是采用优化目标：$$\underset{W}{\max }\frac{tr(W^T{S}_{b}W)}{tr(W^T{S}_{w}W)},$$其中$W\in R^{d\times (N-1)}$，$tr(\cdot )$表示矩阵的迹。
  • 上式通过如下广义特征值问题求解：$$S_{b}W=\lambda S_{w}W.$$ $W$的闭式解则是$S_w^{-1}{S}_b$的$N-1$个最大广义特征值所对应的特征向量组成的矩阵.

多分类学习

• 考虑$N$个类别$C_1,C_2,\cdots ,C_N$，多分类学习的基本思路是拆解法，即将多分类任务拆为若干个二分类任务求解。
• 具体来说，先对问题进行拆分，然后为拆出的每个二分类任务训练一个分类器；在测试时，对这些分类器的预测结果进行集成以获得最终的多分类结果。
• 问题集中在如何拆分和如何集成。
• 最经典的拆分策略有三种：
  给定数据集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_m,y_m)\},y_i\in \{C_1,C_2,\cdots ,C_N\}.$
  • 一对一（One vs. One，OvO）：
    将$N$个类别两两配对，从而产生$N(N-1)/2$个二分类任务。
  • 一对其余（One vs. Rest，OvR）：
    每次将一个类的样例作为正例、所有其他类的样例作为反例来训练$N$个分类器。
  • 多对多（Many vs. Many，MvM）：
    每次将若干个类作为正类，若干个其他类作为反类。

类别不平衡问题

• 类别不平衡（class-imbalance）就是指分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况。
• 再缩放（rescaling）策略：
  • 直接对训练集里的反类样例进行欠采样（undersampling）：
    去除一些反例使得正、反例数目接近，然后再进行学习。
  • 对训练集里的正类样例进行过采样（oversampling）：
    增加一些正例使得正、反例数目接近，然后再进行学习。
  • 直接基于原始训练集进行学习，但在用训练好的分类器进行预测时，将$\frac{y^{\prime }}{1-y^{\prime }}=\frac{y}{1-y}\times \frac{m^{-}}{m^{+}}$嵌入到其决策过程中，称为阈值移动（threshold-moving）。其中，$m^{+}$是正例的数目，$m^{-}$是反例数目，$\frac{m^{+}}{m^{-}}$是观测几率，若$\frac{y}{1-y}>\frac{m^{+}}{m^{-}}$则预测为正例。