概率统计学习笔记（１１）——随机变量的函数的分布

随机变量的函数的分布

定理
设随机变量$X$具有概率密度$f_X(x),-\infty <x<\infty$,又设函数$g(x)$处处可导且恒有$g^{\prime }(x)>0$(或者恒有$g^{\prime }(x)<0$)，则$Y=g(X)$是连续型随机变量，其概率密度为
$$f_Y(y)=\{\begin{array}{l}{f}_x[h(y)]|h^{\prime }(y)|,\alpha <y<\beta ,\\ 0,其他\end{array}$$
其中，$\alpha =min\{g(-\infty ),g(\infty )\},\beta =max\{g(-\infty ),g(\infty )\},h(y)$是$g(x)$的反函数。

随机变量$\{\begin{array}{l}离散型\\ 非离散型\{\begin{array}{l}连续型\\ 其他\end{array}\end{array}$

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