最优化方法

1. 梯度下降法
   1. SGD
   2. BGD
2. 牛顿法
   1. 基本牛顿法
   2. 全局牛顿法
3. 拟牛顿法
   1. DFP
   2. BFGS
   3. L-BFGS
4. 共轭梯度
5. 启发式
6. *解决约束优化问题：拉格朗日乘数法

1. 梯度下降法

过程

梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现已不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的。可以用于求解非线性方程组。

        梯度：对于可微的数量场

   

，以

   

为分量的 向量场 称为f的梯度或斜量。梯度与方向导数的关系为：梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致，而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值。

举一个非常简单的例子，如求函数  的最小值。利用梯度下降的方法解题步骤如下：

1. 求梯度， 
2. 向梯度相反的方向移动  ，如下 
3. 循环迭代步骤2，直到 的值变化到使得 在两次迭代之间的差值足够小，比如0.00000001，也就是说，直到两次迭代计算出来的 基本没有变化，则说明此时 已经达到局部最小值了。
4. 此时，输出 这个 就是使得函数 最小时的的取值 。

其中，

   

为步长。如果步长足够小，则可以保证每一次迭代都在减小，但可能导致收敛太慢，如果步长太大，则不能保证每一次迭代都减少，也不能保证收敛。

优缺点

1. 靠近极小值时收敛速度减慢。
2. 直线搜索时可能会产生一些问题。
3. 可能会“之字形”地下降。         

批量梯度下降BGD

在训练时会有一个代价函数。常见形式为所有特征损失的和除以样本数得到均值。如果要对参数求偏导，那么就要用到训练集的所有数据。u 过样本数很大，那么迭代的次数会相当大并且速度很慢。假设批量梯度的样本个数为m，特征维度为n，则需要计算m*n^2次。 最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局的最优解，即求解的参数是使得风险函数最小，但是对于大规模样本问题效率低下。

随机梯度下降SGD

随机梯度下降通过每个样本来迭代更新一次。可以不用遍历所有的样本。但是噪音比BGD多，并且下降方向不一定是最优的。 最小化每条样本的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向， 但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近，适用于大规模训练样本情况。

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当选取step size 时，算法在期望的意义下收敛。注意到在靠近极小值点时，，这导致随机梯度下降法精度低。由于方差的存在，要使得算法收敛，就需要随逐渐减小。因此导致函数即使在强凸且光滑的条件下，收敛速度也只有. 后来提出的变种SAG，SVRG，SDCA都是在降方差，为了保证在时，方差趋于0。以上提到的几种变种都能达到线性收敛速度。

作者：Qi Qi
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2. 牛顿法

牛顿法的基本思想是利用迭代点处的一阶导数(梯度)和二阶导数(Hessen矩阵)对目标函数进行二次函数近似，然后把二次模型的极小点作为新的迭代点，并不断重复这一过程，直至求得满足精度的近似极小值。牛顿法的速度相当快，而且能高度逼近最优值。牛顿法分为基本的牛顿法和全局牛顿法。

基本牛顿法

1阶导数是梯度，二阶导数是Hessian矩阵，必须 保持正定。

全局（阻尼）牛顿法

基本牛顿法的初始点的选择如果没有靠近极小值点，有可能使算法不能够收敛。但是全局牛顿法是可以的。这是一种 精确搜索。

但是如果是 非精确搜索 ，它要遵循一些准则。比如 Armijo-Goldstein准则。核心思想：目标函数值有足够的下降；以为搜索步长不应太小。

但是A准则条件下，有可能使得极小值点不在判决的区间里面，所以有了Wolfe-Powell准则。A准则的两条都是关于限制fx的值的，但是W准则的第二条是限制梯度的：

有时，会有一个更强的约束：

这样区间内的梯度不会太大，更逼近极值点。

优缺点

牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。

根据wiki上的解释，从几何上说，牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面，而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合会比平面更好，所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。

作者：知乎用户
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但是，1. 对目标函数有严格的要求，必须有连续的一、二阶偏导数，海森矩阵必须正定。2. 计算相当复杂，除了计算梯度，还需要计算二阶偏导数矩阵以及逆矩阵。计算量／存储量均很大，且均以维数N的平方比增加。

3. 拟牛顿法

详见

拟牛顿条件：

DFP算法

用迭代的方法对海森矩阵的逆做近似。一般初始近似矩阵为单位矩阵。

BFGS算法

不是逼近矩阵的逆，而是直接逼近海森矩阵