矩阵的二次型是一个与矩阵和向量相关的二次多项式。对于一个实数域上的二次型,给定一个 n × n n×n n×n 的对称矩阵 A A A 和一个列向量 x x x( x x x 是一个 n × 1 n×1 n×1 的列向量),其二次型定义为:
Q ( x ) = x T A x Q(x)=x^TAx Q(x)=xTAx
这个二次型表示可以更详细地展开为:
Q ( x ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i y j Q(x) = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{ij}x_iy_j Q(x)=i=1∑nj=1∑naijxiyj
其中 a i j a_{ij} aij 是矩阵 A A A 的元素,表示第 i i i 行第 j j j 列的元素。
矩阵 A A A 和列向量 x x x 的具体形式为
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] x = [ x 1 x 2 ⋯ x 3 ] T A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} ~~~~~ x = \begin{bmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_3\end{bmatrix}^T A= a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯amn x=[x1x2⋯x3]T
那么二次型可以写为
Q ( x ) = [ x 1 x 2 ⋯ x n ] [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] Q(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} Q(x)=[x1x2⋯xn] a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann x1x2⋮xn
这个形式表达了二次型的一般形状。实对称矩阵的对称性保证了二次型中的交叉项系数相等,即 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji,从而确保了 Q ( x ) Q(x) Q(x) 的对称性。
矩阵的二次型在线性代数、优化、统计学等领域中有着广泛的应用,特别是在描述二次关系、凸优化等方面。
设实对称矩阵
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} A= a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯amn
其各阶顺序主子式为 A i A_i Ai,则
一阶顺序主子式:
A 1 = a 11 A_1 = a_{11} A1=a11
二阶顺序主子式:
A 2 = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A_2 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} A2=[a11a21a12a22]
三阶顺序主子式:
A 3 = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] A_3 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} A3= a11a21a31a12a22a32a13a23a33
其余各阶顺序主子式依次类推。下表给出各矩阵的定义以及充分必要条件
名称 | 定义 | 充要条件 |
---|---|---|
正定矩阵 | 特征值都大于零的实对称矩阵 | 所有各阶顺序主子式都大于零,即 $ |
半正定矩阵 | 特征值都不小于零的实对称矩阵 | ∣ A ∣ = 0 |A| = 0 ∣A∣=0 且 ∣ A ∣ ≥ 0 |A|≥0 ∣A∣≥0 |
负定矩阵 | 特征值都小于零的实对称矩阵 | ∣ A i ∣ = { < 0 奇数 > 0 偶数 |A_i|=\begin{cases}<0 & 奇数\\ >0 & 偶数\end{cases} ∣Ai∣={<0>0奇数偶数 |
半负定矩阵 | 特征值都不大于零的实对称矩阵 | ∣ A ∣ = 0 |A| = 0 ∣A∣=0 且 ∣ A i ∣ = { ≤ 0 奇数 ≥ 0 偶数 |A_i|=\begin{cases} ≤ 0 & 奇数\\ ≥ 0 & 偶数\end{cases} ∣Ai∣={≤0≥0奇数偶数 |
不定矩阵 | 特征值既有大于零又有小于零的实对称矩阵 | 有两个奇数阶顺序主子式,一正一负 |
给定一个实对称矩阵
A = [ 0 1 1 − 1 1 0 − 1 1 1 − 1 0 1 − 1 1 1 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} A= 011−110−111−101−1110
判断该式子是哪种类型?(正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型)
解:
∣ A − λ E ∣ = ∣ − λ 1 1 − 1 1 − λ − 1 1 1 − 1 − λ 1 − 1 1 1 − λ ∣ = ∣ 1 − λ 1 − λ 1 − λ 1 − λ 1 − λ − 1 1 1 − 1 − λ 1 − 1 1 1 − λ ∣ = ( 1 − λ ) ∣ 1 1 1 1 1 − λ − 1 1 1 − 1 − λ 1 − 1 1 1 − λ ∣ = ( 1 − λ ) ∣ 1 1 1 1 0 − λ − 1 − 2 0 0 − 2 − λ − 1 0 0 2 2 1 − λ ∣ = ( 1 − λ ) 2 ( λ 2 + 2 λ − 3 ) = ( λ − 1 ) 3 ( λ + 3 ) \begin{aligned} & |A-\lambda E| ~=~ \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -\lambda \\ \end{vmatrix} ~=~ \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1-\lambda & 1-\lambda & 1-\lambda \\ 1 & -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -\lambda \\ \end{vmatrix} \\\\ & =~ (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -\lambda \\ \end{vmatrix} ~=~ (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -\lambda-1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & -\lambda-1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} \\\\\ & =~ (1-\lambda)^{2} {(\lambda^2}+2\lambda-3) = (\lambda-1)^3(\lambda+3) \end{aligned} ∣A−λE∣ = −λ11−11−λ−111−1−λ1−111−λ = 1−λ11−11−λ−λ−111−λ−1−λ11−λ11−λ = (1−λ) 111−11−λ−111−1−λ1111−λ = (1−λ) 10001−λ−1−221−2−λ−121001−λ = (1−λ)2(λ2+2λ−3)=(λ−1)3(λ+3)
求得 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 , λ 4 = − 3 \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1, \lambda_4=-3 λ1=λ2=λ3=1,λ4=−3 ,
故矩阵 A A A 是特征值既有大于零又有小于零的实对称矩阵,属于不定二次型。