背包问题（动态规划）总结-java版
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问题描述
0-1背包
多重背包
完全背包
问题描述
一个背包的总容量为V,现在有N类物品,第i类物品的重量为weight[i],价值为value[i]
那么往该背包里装东西,怎样装才能使得最终包内物品的总价值最大。这里装物品主要由三种装法：
1、0-1背包：每类物品最多只能装一次
2、多重背包：每类物品都有个数限制，第i类物品最多可以装num[i]次
3、完全背包：每类物品可以无限次装进包内
0-1背包
思路分析：
0-1背包问题主要涉及到两个问题的求解
a)求解背包所含物品的最大值：
利用动态规划求最优值的方法。假设用dp[N][V]来存储中间状态值,dp[i][j]表示前i件物品能装入容量为j的背包中的物品价值总和的最大值(注意是最大值),则我们最终只需求知dp[i=N][j=V]的值，即为题目所求。
现在考虑动态规划数组dp[i][j]的状态转移方程：
假设我们已经求出前i-1件物品装入容量j的背包的价值总和最大值为dp[i-1][j],固定容量j的值不变，则对第i件物品的装法讨论如下：
首先第i件物品的重量weight[i]必须小于等于容量j才行，即
1、若weight[i]>j,则第i件物品肯定不能装入容量为j的背包，此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
2、若weight[i]<=j,则首先明确的是这件物品是可以装入容量为j的背包的，那么如果我们将该物品装入，则有
dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
随之而来的问题是我们要判断第i件物品装到容量为j的背包后,背包内的总价值是否是最大？其实很好判断，
即如果装了第i件物品后的总价值dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]>没装之前的总价值最大值dp[i-1][j]，则肯是最大的；反之则说明第i件物品不必装入容量为j的背包(装了之后总价值反而变小，那么肯定就不需要装嘛)
故，状态转移方程如下：
dp[i][j] = (dp[i-1][j] > (dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]))? dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
注意：这里的前i件物品是给定次序的
b)求出背包中装入物品的编号
这里我们采用逆推的思路来处理，如果对于dp[i][j]>dp[i-1][j]，则说明第i个物品肯定被放入了背包，此时我们再考察dp[i-1][j-weight[i]]的编号就可以了。
这里dp[i][j] 对应的是数组下标i-1 中物品，i最高为n，对应数组下标n-1
/**
* 0-1背包问题
* @param V 背包容量
* @param N 物品种类
* @param weight 物品重量
* @param value 物品价值
* @return
*/
public static String ZeroOnePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
}
}
//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][V];
//逆推找出装入背包的所有商品的编号
int j=V;
String numStr="";
for(int i=N;i>0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
if(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
numStr = i+" "+numStr;
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}
return numStr;
}
优化，空间二维变成一维
用一维数组代替二维数组就解决了二维数组的问题
设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值 可得出状态转移方程 ：
f[j]=max{f[j]，f[j−w[i]]+v[i]}
这里，先确定物品1，在0-v重量区间的最大价值
再确定物品2,加入后的0-v 以此类推
原来是dp[i][j] = (dp[i-1][j] > (dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]))? dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
可以看到二维的是i的结果由i-1构成
而在循环中逆序是因为，如果是逆序的，那么前面的dp还是对应的i-1的，不是对应i的
/**
* 0-1背包的优化解法
* 思路：
* 只用一个一维数组记录状态，dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
* 用逆序来实现
*/
public static int ZeroOnePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//动态规划
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=1;i=weight[i-1];j--){
dp[j] = Math.max(dp[j-weight[i-1]]+value[i-1],dp[j]);
}
}
return dp[V];
}
多重背包
每个物品都有了一定的数量
设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值 可得出状态转移方程 ：
f[j]=max{f[j],f[j−k∗w[i]]+k∗v[i]}
二维的是：
dp[i][j]=Math.max( dp[i-1][j] , dp[i-1] [j-k*weight[i-1]] + k*value[i-1]);
/**
* 第三类背包：多重背包
*
* @param args
*/
public static int manyPack(int V,int N,int[] weight,int[] value,int[] num){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else{
//考虑物品的件数限制
int maxV = Math.min(num[i-1],j/weight[i-1]);
for(int k=0;k0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
while(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
numStr = i+" "+numStr;
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}*/
return dp[N][V];
}
完全背包
每个物品可以无限选用
注意：这里是2维
设f[i][j]表示重量不超过j公斤,物种为前i个的最大价值 可得出状态转移方程 :
dp[i][j] = Math.max( dp[i-1][j] , dp[i][j-weight[i-1]] + value[i-1]);
区别：0，1背包是从大到小遍历，完全背包是从小到大遍历
/**
* 第二类背包：完全背包
* 思路分析：
* 01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题（i种物品），
* 向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品）
* 向i种物品时的背包添加第i种物品。
* 推公式计算时，f[i][y] = max{f[i-1][y], (f[i][y-weight[i]]+value[i])}，
* 注意这里当考虑放入一个物品 i 时应当考虑还可能继续放入 i，
* 因此这里是f[i][y-weight[i]]+value[i], 而不是f[i-1][y-weight[i]]+value[i]。
* @param V
* @param N
* @param weight
* @param value
* @return
*/
public static String completePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
}
}
//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][V];
int j=V;
String numStr="";
for(int i=N;i>0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
while(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
numStr = i+" "+numStr;
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}
return numStr;
}
/**
* 完全背包的第二种解法
* 思路：
* 只用一个一维数组记录状态，dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
* 用顺序来实现
*/
public static int completePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//动态规划
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=1;i