01背包问题（动态规划DP）

原题

01背包问题

有n个重量和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

1<=n<=100 

1<=wi,vi<=100

1<=W<=10000

样例输入

n=4

(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}

W=5

样例输出

7（选择0、1、3号物品）

代码

递归写法（记忆化搜索）

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//记忆化数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
//从第i个物品开始挑选总重小于j的部分
int rec(int i,int j)
{
    if(dp[i][j]>=0)
    {
        return dp[i][j];
    }
    int res;
    if(i==n)
    {
        //没有剩余物品
        res=0;
    }
    else if(j


递推写法（逆向进行）

dp[i][j]定义为从第i个物品开始挑选总重小于j的部分

dp[n][j]=0

dp[i][j]= dp[i+1][j] (j

dp[i][j]= max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]) (j>=w[i])

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//DP数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
void solve()
{
    for(int j=0;j<=W;j++)
    {
        dp[n][j]=0;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            if(j

递推写法（正向进行）

dp[i+1][j]定义为从前i个物品中选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值

dp[0][j]=0

dp[i+1][j]=dp[i][j]  (j

dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]) (j>=w[i])

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//DP数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
void solve()
{
    for(int j=0;j<=W;j++)
    {
        dp[0][j]=0;
    }
    for(int i=0;i

状态转移

从“前i个物品中选取总重不超过j时的状态”向“前i+1个物品中选取总重不超过j”和“前i+1个物品中选取总重不超过j+w[i]时的状态”的转移。

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//DP数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
void solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i

注：文章内容源于《挑战程序设计竞赛》（第二版）