数论整理之欧几里得算法gcd

辗转相除法
使用到的原理很聪明也很简单,假设用f(x, y)表示x,y的最大公约数,取k = x/y,b = x%y,则x = ky + b,如果一个数能够同时整除x和y,则必能同时整除b和y;而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y,即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的,其最大公约数也是相同的,则有f(x, y)= f(y, x % y)(y > 0),如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数,直到其中一个数为0,剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。gcd递归定理是指gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

//直接调用
#include 
#include 
using namespace std;
int a,b;

int main()
{
  cin>>a>>b;
  cout<<__gcd(a,b)<

高精度gcd
(更相减损术)
不妨设a<=b,则有:
1.a=b时, gcd(a,b)=a;
2.a,b均为偶数时,gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2);
3.a为偶,b为奇时,gcd(a,b)=gcd(a/2,b);
4.a为奇,b为偶时,gcd(a,b)=gcd(a,b/2);
5.a,b均为奇数时,gcd(a,b)=gcd(a-b,b);

//输入两个数(分两行)输出最大公约数
#include
#define str strlen 
#define ll long long 
using namespace std;
struct huge{
    int num[10010];
    int len;
};
huge a,b;
char d[10010];char c[10010];
void print(huge x){
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--) cout<y.len)   return 1;
    if(x.len=0;i--){
        if(x.num[i]>y.num[i]) return 1;
        if(x.num[i]=10){
    		plus=x.num[i]/10;
            x.num[i]%=10;
        }
    }
    if(plus!=0){
        x.len++;
        x.num[x.len-1]=plus;
    } 
    return x;
}
huge chu(huge x){
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--){
        if(x.num[i]%2==1){
            x.num[i]--;
            x.num[i-1]+=10;
        }
        x.num[i]/=2;
    }
    while(x.num[x.len-1]==0&&x.len>1) x.len--;
    return x;
}
huge minu(huge x,huge y){
    for(int i=0;i1) x.len--;
    return x;
}
void gcd(huge x,huge y){
    int xx=smp(x,y),aa=1-x.num[0]%2,bb=1-y.num[0]%2;
    int tt=0;
    while(xx<3){//print(x);print(y);
        if(xx==2){
            swap(x,y);
            swap(aa,bb);
        }
        if(aa==1&&bb==1){
            x=chu(x);y=chu(y);
            tt++;
        }
        if(aa==1&&bb==0)  x=chu(x);				
        if(aa==0&&bb==1)  y=chu(y);
        if(aa==0&&bb==0)  x=minu(x,y);  
    	xx=smp(x,y);aa=1-x.num[0]%2;bb=1-y.num[0]%2;
    }
    for(int i=1;i<=tt;i++)  x=ch(x);
    print(x);
    return;
}
int main(){
    scanf("%s",&c);
    scanf("%s",&d);
    if(str(c)0)) swap(c,d);
    a.len=str(c);b.len=str(d);
    for(int i=0;i
//循环
ll gcd(ll a,ll b)
{
    ll t;
    while(b)///当b为0时,得出结果,a既为结果
    {
        t=b;///存b
        b=(a%b);///b为a对b取模
        a=t;///a为上一次的b
    }
    return a;
}

贝祖定理:其内容是若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b),(a,b)代表最大公因数,则设a,b是不全为零的整数,则存在整数x,y,使得ax+by=(a,b)。
| 介是什么符号:
若b可被a整除,或a整除b,则可记作a|b
如2|6,8|16
性质:①a|b,b|c => a|c
②a|b,a|c => a|(b+c)=>a|(mb+nc) (m,n∈Z)
③a|b(a≠0) =>|a|≤|b|
数论整理之欧几里得算法gcd_第1张图片

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