数据结构：线段树

（1）构建

LintCode：Link

线段树是一棵二叉树，他的每个节点包含了两个额外的属性start和end用于表示该节点所代表的区间。start和end都是整数，并按照如下的方式赋值:

• 根节点的 start 和 end 由 build 方法所给出。
• 对于节点 A 的左儿子，有 start=A.left, end=(A.left + A.right) / 2。
• 对于节点 A 的右儿子，有 start=(A.left + A.right) / 2 + 1, end=A.right。
• 如果 start 等于 end, 那么该节点是叶子节点，不再有左右儿子。

实现一个 build 方法，接受 start 和 end 作为参数, 然后构造一个代表区间 [start, end] 的线段树，返回这棵线段树的根。

/**
 * Definition of SegmentTreeNode:
 * public class SegmentTreeNode {
 *     public int start, end;
 *     public SegmentTreeNode left, right;
 *     public SegmentTreeNode(int start, int end) {
 *         this.start = start, this.end = end;
 *         this.left = this.right = null;
 *     }
 * }
 */


public class Solution {
    /*
     * @param start: start value.
     * @param end: end value.
     * @return: The root of Segment Tree.
     */
    public SegmentTreeNode build(int start, int end) {
        SegmentTreeNode node = null;
        if(start==end){
            node = new SegmentTreeNode(start, end);
        }
        if(start

（2）查询区间最大值

LintCode：Link

对于一个有n个数的整数数组，在对应的线段树中, 根节点所代表的区间为0-n-1, 每个节点有一个额外的属性max，值为该节点所代表的数组区间start到end内的最大值。

为SegmentTree设计一个 query 的方法，接受3个参数root, start和end，线段树root所代表的数组中子区间[start, end]内的最大值。

package com.graph;

import java.util.*;

import javax.security.auth.kerberos.KerberosKey;

import java.util.*;
class SegmentTreeNode {
    public int start, end, max;
    public SegmentTreeNode left, right;
    public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.max = max;
        this.left = this.right = null;
    }
}
public class Solution {
    public int query(SegmentTreeNode root, int start, int end) {

        if(root.start==start && root.end==end){//刚好在该区间内
            return root.max;
        }
        
        int m = (root.start+root.end)/2;
        int leftMax=Integer.MIN_VALUE;
        int rightMax=Integer.MIN_VALUE;
        if(end<=m){//在左子树
            leftMax = query(root.left, start, end);
        }else if(m+1<=start){//在右子树
            rightMax = query(root.right,start, end);
        }else{//横跨左右子树
            leftMax = query(root.left, start, m);
            rightMax = query(root.right, m+1, end);
        }
        
        return Math.max(leftMax, rightMax);
    }
    
    int[] maxnums = new int[] {3,2,2,1,3,0,3};
    int maxIndex=0;
    public SegmentTreeNode build(int start, int end) {
        SegmentTreeNode node = null;
        if(start==end){
            node = new SegmentTreeNode(start, end, maxnums[maxIndex++]);
        }
        if(start

（3）修改线段树

LintCode：Link

对于一棵 最大线段树, 每个节点包含一个额外的 max 属性，用于存储该节点所代表区间的最大值。

设计一个 modify 的方法，接受三个参数 root、 index 和 value。该方法将 root 为跟的线段树中 [start, end] = [index, index] 的节点修改为了新的 value ，并确保在修改后，线段树的每个节点的 max 属性仍然具有正确的值。

/**
 * Definition of SegmentTreeNode:
 * public class SegmentTreeNode {
 *     public int start, end, max;
 *     public SegmentTreeNode left, right;
 *     public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) {
 *         this.start = start;
 *         this.end = end;
 *         this.max = max
 *         this.left = this.right = null;
 *     }
 * }
 */


public class Solution {
    /*
     * @param root: The root of segment tree.
     * @param index: index.
     * @param value: value
     * @return: 
     */
    public void modify(SegmentTreeNode root, int index, int value) {
        update(root, index, index, value);    
    }
    
    boolean update(SegmentTreeNode node, int s, int e, int value){
        if(node.start==s && node.end==e){
            node.max=value;
            return true;
        }
        
        boolean flag1=false, flag2=false;
        int m = (node.start+node.end)/2;
        if(e<=m){
            flag1 = update(node.left, s, e, value);
        }else if(m+1<=s){
            flag1 = update(node.right, s, e, value);
        }else{
            flag1 = update(node.left,  s,   m, value);
            flag2 = update(node.right, m+1, e, value);
        }
        
        if(flag1 || flag2){
            int tmpMax = node.max;
            node.max = Math.max(node.left.max, node.right.max);
            
            if(tmpMax!=node.max)
                return true;//node的值更新了
            else 
                return false;
        }else{
            return false;
        }
    }
    
}