拓展欧几里得的三种应用

图源来自于_Warning_大佬

板子1：

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll g=exgcd(b, a%b, x, y);
    ll temp=x;
    x=y;
    y=temp-y*(a/b);
    return g;
}

void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b, a%b, d, y, x);
    y-=a/b*x;
}

应用一：求解乘法逆元（A和MOD互素的时候才存在，否则不存在逆元）

具体可见A/B这道题

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
	if(!b) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return d;
}
int main() {
	ll t,n,b,x,y;
	cin>>t;
	while(t--) {
		cin>>n>>b;
		exgcd(b,9973,x,y);
		cout<<((x*n)%9973+9973)<<'\n';
	}
	return 0;
}

学会了的话可以去水一下青蛙的约会
设它们走了t步，和他们追击了k圈，也就是围着又走了k圈。
所以 x + m * t = y + n * t + k * L。
我们转换一下方程：
x - y = (n - m) * t + L * k
形如ax+by=c这种形式，我们直接用欧几里得求出一组解输出最小正解就好了。
注意取负；

#include 
typedef long long ll;
using namespace std;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
	if(!b) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return d;
}
int main() {
	ll x,y,m,n,b;
	cin>>x>>y>>m>>n>>b;
	ll a=m-n,c=y-x;
	if(a<0) {
		a=-a;
		c=-c;
	}
	ll gcd=exgcd(a,b,x,y);
	if(c%gcd)cout<<"Impossible"<<'\n';
	else {
		x=x*c/gcd;
		x=(x%(b/gcd)+b/gcd)%(b/gcd);
		cout<<x<<'\n';
	}
	return 0;
}

应用二：求解ax=c(mod b)（也就是ax+by=c（同上逆元的变化方式））的x的最小整数解

ax=c(mod b)可以转化为ax+by=c。（变化的方式同求逆元的时候的变化。）

我们可以用扩展欧几里得算法得出ax+by=gcd(a,b) 的一组解（x1,y1），那么其他解呢？任取另一组解（x2,y2）,则ax1+by1=ax2+by2（因为它们都等于gcd(a,b) ），变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。假设gcd(a,b)=g，方程左右两边同时除以g（如果g=0，说明a或b等于0，可以特殊判断），得a’(x1-x2)=b’(y2-y1)，其中a’=a/g，b’=b/g。注意，此时a’和b’互素（想想分数的化简），则因此x1-x2一定是b’的整数倍（因为a’中不包含b’，所以x1-x2一定包含b’）。设它为kb’，计算得y2-y1=ka’。注意，上述的推导过程并没有用到“ax+by的右边是什么”，因此得出以下结论：

设a,b,c为任意整数，若方程ax+by=c的一组解是（x0,y0），则它的任意整数解都可以写成（x0+kb’,y0-ka’），其中a’=a/gcd(a,b)，b’=b/gcd(a,b)，k取任意整数。

这样我们就可以求出来最小的整数解了。（先用扩展欧几里得算法求出一组解，然后进行变换）。
具体可见青蛙的约会

应用三：直线上的整数点

在平面坐标系下，ax+by=c是一条直线方程。知道一个点，我们就可以用应用二中的方法去求直线上的所有整数点。

应用讲解：Bug_Programmer