数据结构-线段树详解（含java源代码）
1 线段树的定义
首先，线段树是一棵二叉树。它的特点是：每个结点表示的是一个线段，或者说是一个区间。事实上，一棵线段树的根结点表示的是“整体”区间，而它的左右子树也是一棵线段树，分别表示区间的左半边和右半边。树中的每个结点表示一个区间[a,b]。每一个叶子结点表示一个单位区间。对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b]，其左孩子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右孩子表示的区间为[(a+b)/2,b]。 用T(a, b)表示一棵线段树，参数a,b表示区间[a,b]，其中b-a称为区间的长度，记为L。
线段树主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。
2 线段树的实现
以下面这棵线段树为例：
2.1 节点定义
// 线段树的树节点
class Node {
int left, right;//左右区间的值
boolean cover;//表示是否被覆盖
int count;//表示此节点表示的线段区间出现的次数（被覆盖的次数），默认为0
Node leftChild;
Node rightChild;
Node(int left, int right) {
this.left = left;
this.right = right;
cover=false;
count = 0;
}
}2.2 建立一棵线段树
/*
* 外部接口
* 建立一棵线段树
* */
public void build(int left,int right){
root = new Node(left, right);
build(root);
}
/*
* 内部接口
* 建立一棵线段树
* */
private void build(Node root) {
int left = root.left;
int right = root.right;
//root节点为叶子节点
if (right - left == 1) {
return;
} else if (right - left > 1) {
int mid = (left + right) >> 1;////将左右区间平分
Node leftNode = new Node(left, mid);
Node rightNode = new Node(mid , right);
root.leftChild = leftNode;
root.rightChild = rightNode;
// 递归的创建左右子树
build(leftNode);
build(rightNode);
}
}2.3 在一棵线段树里插入一条线段[c,d]
/*
* 插入一条线段[c,d]的外部接口
* c为左端点
* d为右端点
* root 为此线段树的根节点
* */
public void insert(int c, int d) {
insert(c,d,root);
}
/*
* 插入一条线段[c,d]的内部接口
* c为左端点
* d为右端点
* root 为此线段树的根节点
* */
private void insert(int c, int d, Node node) {
if(node==null||cleft||d>node.right){
System.out.println("输入的参数不合法!"+"c:"+c+" "+"d:"+d);
System.out.println("root:"+node.left+" "+node.right);
return ;
}
if(node.left==c&&node.right==d)
{
node.count++;
node.cover=true;
return;
}
int mid=(node.left+node.right)>>1;
if(d<=mid){
insert(c,d,node.leftChild);
}
else if(c>=mid)
insert(c,d,node.rightChild);
else {
insert(c,mid,node.leftChild);
insert(mid,d,node.rightChild);
}
} 2.4 在一棵线段树里删除一条线段[c,d]
* 删除一条线段[c,d]的外部接口
* c:删除线段的左端点
*d:删除线段的右端点
* root:删除线段树的根结点
* */
public void delete(int c, int d){
delete(c,d,root);
}
/*
* 删除一条线段[c,d]
* c:删除线段的左端点
*d:删除线段的右端点
* root:删除线段树的根结点
* */
private void delete(int c, int d, Node node) {
if (node == null || c < node.left || d > node.right)
{
System.out.println("输入的参数不合法!");
return;
}
if(c==node.left&&d==node.right)
{
node.count--;
if(node.count==0)
node.cover=false;
return;
}
int mid=(node.left+node.right)>>1;
if(d<=mid)
delete(c,d,node.leftChild);
else if(c>=mid)
delete(c,d,node.rightChild);
else {
delete(c,mid,node.leftChild);
delete(mid,d,node.rightChild);//注意不是mid+1，比如区间【1,10】的左右两部分分别是【1,5】，【5,10】
}
}2.5 前序遍历线段树
/*
* 前序遍历
* 外部接口
* */
public void preOrder(){
preOrder(root);
}
/*
* 前序遍历
* 内部接口
* */
private void preOrder(Node root){
// 叶子节点
if(root.right-root.left==1) {
System.out.println("["+root.left+","+root.right+"]:"+root.count);
return ;
}
else if(root.right-root.left>1){
System.out.println("["+root.left+","+root.right+"]:"+root.count);
preOrder(root.leftChild);
preOrder(root.rightChild);
}
}2.6 计算多条线段所覆盖的区域总长度
问题：桌子上零散地放着若干个盒子，桌子的后方是一堵墙。现在从桌子的前方射来一束平行光， 把盒子的影子投射到了墙上。问影子的总宽度是多少？
分析：可以把题目抽象地描述如下：x轴上有若干条线段，求线段覆盖的总长度。这就是给每个节点添加一个布尔型cover的原因。cover=1表示该结点所对应的区间被完全覆盖，cover=0表示该结点所对应的区间未被完全覆盖。
/*
* 外部接口
* 统计线段树中cover为true的线段的总长度
* */
public int Count(){
return Count(root);
}
/*
* 内部接口
* 统计线段树中cover为true的线段的总长度
* */
private int Count(Node node){
if(node.cover==true)//不继续往下查找，否则会重复
return node.right-node.left;
else {
if(node.right-node.left==1)
return 0;
else
return Count(node.leftChild)+Count(node.rightChild);
}
}2.7 测试
public class SegmentTreeTest {
public static void main(String[] args) {
SegmentTree segmentTree=new SegmentTree();
segmentTree.build(1,10);
segmentTree.insert(3,5);
segmentTree.insert(3,5);
segmentTree.insert(2,5);
segmentTree.insert(3,9);
segmentTree.insert(1,10);
//[2,5]被分为[2,3],[3,5]
//[3,9]被分为[3,5],[5,9]
//[5,9]被分为[5,7],[7,8]+[8,9]
System.out.println("前序遍历线段树:");
segmentTree.preOrder();
System.out.println("删除线段:");
segmentTree.delete(1,10);
segmentTree.delete(3,5);
System.out.println("前序遍历线段树:");
segmentTree.preOrder();
System.out.println("被覆盖的长度:"+segmentTree.Count());
// 输出为[2,3]+[3,5]+[5,7]+[7,8]+[8,9]=7
}
}输出：
前序遍历线段树:
[1,10]:1
[1,5]:0
[1,3]:0
[1,2]:0
[2,3]:1
[3,5]:4
[3,4]:0
[4,5]:0
[5,10]:0
[5,7]:1
[5,6]:0
[6,7]:0
[7,10]:0
[7,8]:1
[8,10]:0
[8,9]:1
[9,10]:0
删除线段:
前序遍历线段树:
[1,10]:0
[1,5]:0
[1,3]:0
[1,2]:0
[2,3]:1
[3,5]:3
[3,4]:0
[4,5]:0
[5,10]:0
[5,7]:1
[5,6]:0
[6,7]:0
[7,10]:0
[7,8]:1
[8,10]:0
[8,9]:1
[9,10]:0
被覆盖的长度:72.7 完整源代码
public class SegmentTree {
Node root;
/*
* 外部接口
* 建立一棵线段树
* */
public void build(int left,int right){
root = new Node(left, right);
build(root);
}
/*
* 内部接口
* 建立一棵线段树
* */
private void build(Node root) {
int left = root.left;
int right = root.right;
//root节点为叶子节点
if (right - left == 1) {
return;
} else if (right - left > 1) {
int mid = (left + right) >> 1;////将左右区间平分
Node leftNode = new Node(left, mid);
Node rightNode = new Node(mid , right);
root.leftChild = leftNode;
root.rightChild = rightNode;
// 递归的创建左右子树
build(leftNode);
build(rightNode);
}
}
/*
* 插入一条线段[c,d]的外部接口
* c为左端点
* d为右端点
* root 为此线段树的根节点
* */
public void insert(int c, int d) {
insert(c,d,root);
}
/*
* 插入一条线段[c,d]的内部接口
* c为左端点
* d为右端点
* root 为此线段树的根节点
* */
private void insert(int c, int d, Node node) {
if(node==null||cnode.right){
System.out.println("输入的参数不合法!"+"c:"+c+" "+"d:"+d);
System.out.println("root:"+node.left+" "+node.right);
return ;
}
if(node.left==c&&node.right==d)
{
node.count++;
node.cover=true;
return;
}
int mid=(node.left+node.right)>>1;
if(d<=mid){
insert(c,d,node.leftChild);
}
else if(c>=mid)
insert(c,d,node.rightChild);
else {
insert(c,mid,node.leftChild);
insert(mid,d,node.rightChild);
}
}
/*
* 删除一条线段[c,d]的外部接口
* c:删除线段的左端点
*d:删除线段的右端点
* root:删除线段树的根结点
* */
public void delete(int c, int d){
delete(c,d,root);
}
/*
* 删除一条线段[c,d]
* c:删除线段的左端点
*d:删除线段的右端点
* root:删除线段树的根结点
* */
private void delete(int c, int d, Node node) {
if (node == null || c < node.left || d > node.right)
{
System.out.println("输入的参数不合法!");
return;
}
if(c==node.left&&d==node.right)
{
node.count--;
if(node.count==0)
node.cover=false;
return;
}
int mid=(node.left+node.right)>>1;
if(d<=mid)
delete(c,d,node.leftChild);
else if(c>=mid)
delete(c,d,node.rightChild);
else {
delete(c,mid,node.leftChild);
delete(mid,d,node.rightChild);//注意不是mid+1，比如区间【1,10】的左右两部分分别是【1,5】，【5,10】
}
}
/*
* 前序遍历
* 外部接口
* */
public void preOrder(){
preOrder(root);
}
/*
* 前序遍历
* 内部接口
* */
private void preOrder(Node root){
// 叶子节点
if(root.right-root.left==1) {
System.out.println("["+root.left+","+root.right+"]:"+root.count);
return ;
}
else if(root.right-root.left>1){
System.out.println("["+root.left+","+root.right+"]:"+root.count);
preOrder(root.leftChild);
preOrder(root.rightChild);
}
}
/*
* 外部接口
* 统计线段树中cover为true的线段的总长度
* */
public int Count(){
return Count(root);
}
/*
* 内部接口
* 统计线段树中cover为true的线段的总长度
* */
private int Count(Node node){
if(node.cover==true)//不继续往下查找，否则会重复
return node.right-node.left;
else {
if(node.right-node.left==1)
return 0;
else
return Count(node.leftChild)+Count(node.rightChild);
}
}
// 线段树的树节点
class Node {
int left, right;//左右区间的值
boolean cover;//表示是否被覆盖
int count;//表示此节点表示的线段区间出现的次数（被覆盖的次数），默认为0
Node leftChild;
Node rightChild;
Node(int left, int right) {
this.left = left;
this.right = right;
count = 0;
cover=false;
}
}
} 有错误的地方欢迎指出