等概率生成随机数

题目一：已知有一个rand3()函数，可以生成等概率的[1, 3]范围内的随机整数，利用这个rand3()函数构造一个rand7()函数，生成等概率[1, 7]范围内的随机整数。

 

分析：要保证rang7在整数1-7的均匀分布，可以构造一个1-7*n（n为任何正整数）的均匀分布的随机整数区间。假设x是这个1-7*n区间上的一个随机整数，那么x%7+1就是均匀分布在1-7上的整数。由于(rand3()-1)*3+rand3()可以构造出均与分布在1-9的随机数，可以将8和9剔除掉仍然是均匀分布在1-7的，因为每个数都是一个独立的事件。

为什么(rand3()-1)*3+rand3()可以构造出均匀分布在1-9的随机数？

    因为rand3()-1的得到的是一个离散整数集合{0,1,2}，其中每个整数出现的概率是1/3。那么(rand3()-1)*3得到一个离散整数集合A={0,3,6},其中每个整数出现的概率也是1/3.而rand3()得到的集合B={1,2,3}中每个整数出现的概率也是1/3，集合A和B中任何两个元素相加可以与1-9之间的一个整数对应，也就是说1-9之间任何一个数，可以唯一确定A和B中两个元素相加的组合方式。由于A和B中的元素可以看成是独立事件，根据独立事件的概率公司P(AB)=P(A)P(B)，得到每个组合的概率是1/3*1/3=1/9。因此(rand3()-1)*3+rand3()生成的整数均匀的分布在1-9之间，每个数的概率1/9。

def random7():
	x = 0
	while x <= 7:
		x = 3 * (random3() - 1) + random3()
	return x % 7 + 1

归纳：已知randm()生成随机数的范围是[1，m]，求randn()生成[1,n]范围的函数，m

def randn(t:int):
    """
    t:t为n的最大倍数，且满足t

题目二：已知随机函数rand()，以p的概率生成0，以1-p的概率生成1，现在要求设计一个新的随机函数newRand()，使其以1/n的概率产生1-n之间的任意一个数。

思路:可以通过已知随机函数rand()产生等概率0和1新随机函数Rand()，然后调用k次（k为整数n的二进制表示位数）Rand()函数，得到一个长度为k的0和1的序列，以此序列所形成的整数即为1-n之间的数字。冲产生的序列中的到的整数可能大于n，如果大于n的话，则重新产生直至得到的整数不大于n。

1.由rand()函数产生Rand()函数，Rand()函数等概率产生0和1；

2.计算整数n的二进制表示所拥有的位数k，k=1+logn（以2为底）

3.调用k次Rand（）产生随机数，产生K歌序列表示1-n之间的数。