prim算法--prim算法求次小生成树--prim算法求限制K度生成树

在正常求次小生成树的时候相信大家都喜欢kruskal，毕竟因为太大的图，尤其是稀疏图，prim算法并不实用，而且占内存太多，有可能不让开。但是在解决次小生成树和限制度生成树时候prim算法不失为一种很好的方法，因为这两种情况空间复杂度，尤其是图的大小都并不太大。

从一开始学了prim算法，再到拿prim算法解决次小生成树的变形，直到今天彻底搞懂prim算法求解限制k度最小生成树的问题。我感觉无论如何边，唯一不变的一点就是：

把贪心贯彻到底！！！

最小生成树：朴素prim 与dijkstra相同，一直找最小，一直更新插入

次小生成树：在求解完最小生成树后，找一个未被使用的最小边进行判断

限制K度生成树： 在分块求解完最小生成树后，进行每一次从所有树中找一个差值最大的，重新建树，松弛更新

一：

先说一下普通的最小生成树的题，prim算法 的不优化和优化的两种算法。

1.不优化-详细请点http://blog.csdn.net/qq_33951440/article/details/52640783

以POJ 1258 Agri-Net题为例

void prim(int cur)  
{  
    int sum=0;  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
        dis[i]=mp[cur][i];  
    }  
    vis[cur]=1;   
      
    for(int i=1;i=mp[index][j])  
                {  
                    dis[j]=mp[index][j];  
                }  
            }  
        }  
    }  

之后就是优化后的prim算法了，用优先队列来搞定，复杂度降低成为了(nlogn),然而空间复杂度仍然是一个问题

priority_queueq;
    while(!q.empty())
        q.pop();
    node fir;
    fir.v=cur,fir.val=0;
    q.push(fir);
    while(!q.empty())
    {
        node tp=q.top();
        q.pop();
        int u=tp.v;
        if(!tree[u])
        {
            ans+=tp.val;
            tree[u]=id;
            for(int i=1;imp[u][i])
                {
                    pre[i]=u;       
                    dis[i]=mp[u][i]; 
                    node temp;
                    temp.val=dis[i];
                    temp.v=i;
                    q.push(temp);
                }
            }
        }
    }
    return ans;

二.次小生成树

题意：在最小生成树的基础上，询问是否可以不经过最小生成树构造时候经过的边，重新更改一条或者多条边，使得权值和仍然与最小生成树的权值和相同。

思路：在构造最小生成树时候，把用到的边进行全部标记掉，然后再从未被标记的边中找出一条边进行更改。

注意：这个时候prim算法就会看出好处了，在空间允许的情况下我们可以直接用二维数组 类似于mp[i][j]=0 的形式直接把边标记点，而不非要同kruskal算法一样重新构造

具体的点击   

次小生成树模板-prim算法

三.限制K度最小生成树

题意：在普通最小生成树的基础上，题意允许你再多加K条边，构造一个 K度的最小生成树。

大体意思就是：

当把最小生成树都构造好（注意有可能不只是一棵树）之后再进行加入m条边，或者少于m条边，使得权值更小。

我不感觉我可以讲理论讲得很好，所以具体的请看大神写得国家队论文，http://wenku.baidu.com/view/8abefb175f0e7cd1842536aa.html

思路：在不加入总目标的那个点之前，把所有的点都尽可能能连起来，也就是构造尽量少的最小生成树，之后再把每一棵树中找到一个最短的边，把树与总目标点相连，如果还有多余的度可以让我们插入，我们就在所有点中找到一个可以松弛最大的，注意不是最小的，而是相比之下松弛更大的。

我在这里只是把代码一步步的注释，记录下自己一步步调试的发现Orz

以题POJ1639为例

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