任务分配问题-匈牙利算法

一、问题描述

问题描述：N个人分配N项任务，一个人只能分配一项任务，一项任务只能分配给一个人，将一项任务分配给一个人是需要支付报酬，如何分配任务，保证支付的报酬总数最小。

问题数学描述：

　　

二、实例分析---穷举法

在讲将匈牙利算法解决任务问题之前，先分析几个具体实例。

以3个工作人员和3项任务为实例，下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。

　　

利用最简单的方法(穷举法)进行求解，计算出所有分配情况的总薪酬开销，然后求最小值。

total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100;  x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1;

total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000;  x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1;

total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050;  x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1;

total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950;   x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1;  //最优分配

total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1;

total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1,x22 = 1;

对于任务数和人员数较少时，可利用穷举法计算结果。

若将N任务分配给N个人员，其包含的所有分配情况数目为N!，N增大时，穷举法将难以完成任务。

三、匈牙利算法

下面简要介绍匈牙利算法。

其基本的理论基础是针对cost矩阵，将cost矩阵的一行或一列数据加上或减去一个数，其最优任务分配求解问题不变。

　　

算法的基本步骤如下：

　　

四、实例分析---匈牙利算法

下面结合具体实例，分析匈牙利算法如何解决任务分配问题。

以N = 4为实例，下图为cost列表和cost矩阵。

　　

Step1.从第1行减去75，第2行减去35，第3行减去90，第4行减去45。

　　

Step2.从第1列减去0，第2列减去0，第3列减去0，第4列减去5。

　　

Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。

　　

Step4.由于水平线和垂直线的总数是3，少于4，进入Step5。

Step5.没有被覆盖的最小值是5，没有被覆盖的每行减去最小值5，被覆盖的每列加上最小值5，然后跳转到步骤3.

　　

Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。

　　

Step4.由于水平线和垂直线的总数是3，少于4，进入Step5。

Step5.没有被覆盖的最小值是20，没有被覆盖的每行减去最小值20，被覆盖的每列加上最小值20，然后跳转到步骤3.

　　

Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。

　　

Step4.由于水平线和垂直线的总数是4，算法结束，分配结果如下图所示。

　　

其中，黄色框表示分配结果，左边矩阵的最优分配等价于左边矩阵的最优分配。