[DP]hihoCoder #1147 时空阵 题解

题目大意

给出一个 n n n个点的图,现允许任意两点之间建立长度为1的无向边(不允许重边),问有多少种建图方案满足1到 n n n的最短路距离为 K K K n , K ≤ 100 n,K\le100 n,K100

解题分析

很妙的DP!可以考虑对这个图进行分层,第 i i i层上所有点的最短路距离都为 i i i,那么1在第0层, n n n就在第 K K K层,每一层都只能与上一层或这一层中的节点相连。设 f [ i ] [ j ] [ k ] f[i][j][k] f[i][j][k]为前 i i i层一共使用 j j j个节点,其中第 i i i层有 k k k个节点的合法方案。枚举前一层有 x x x个,那么明显转移方程为
f [ i ] [ j ] [ k ] = ∑ f [ i − 1 ] [ j − k ] [ x ] ∗ C n − j + k + 1 k ∗ ( 2 x − 1 ) k ∗ 2 C k 2 f[i][j][k]=\sum f[i-1][j-k][x]*C_{n-j+k+1}^{k}*(2^x-1)^k*2^{C_k^2} f[i][j][k]=f[i1][jk][x]Cnj+k+1k(2x1)k2Ck2
但是注意如果枚举到第 K K K层,那么由于这一层必须有 n n n,所以转移方程有一些细节需要调整,而且排完所有层后会存在一些落单的节点,那么这些节点是不能与第 K K K层的节点相连的。

示例代码

题目传送门

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int tt=1e9+7;
int n,K,C[105][105],pw[10005];
LL ans,f[105][105][105];
void maken(){
	for (int i=0;i<=n;i++) C[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%tt;
	pw[0]=1; for (int i=1;i<=n*n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%tt;
}
LL ksm(LL x,int y){
	LL sum=1,w=x;
	for (;y;y>>=1,w=w*w%tt) if (y&1) sum=sum*w%tt;
	return sum%tt;
}
int main()
{
	freopen("portal.in","r",stdin);
	freopen("portal.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&K); maken(); f[0][1][1]=1;
	for (int i=1;i<=K;i++)
		for (int j=i+1;j<=n-K+i;j++)
			for (int k=1;k<=j-i;k++){
				LL tem=(i==K)?C[n-j+k-1][k-1]:C[n-j+k-1][k];
				for (int x=1;x<=j-k-i+1;x++)
					f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-k][x]*tem%tt*ksm(pw[x]+tt-1,k)%tt*pw[C[k][2]]%tt)%tt;
				if (i==K) ans=(ans+f[i][j][k]*pw[k*(n-j)+C[n-j][2]]%tt)%tt;
			}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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