[DP]hihoCoder #1147 时空阵 题解

题目大意

给出一个$n$个点的图，现允许任意两点之间建立长度为1的无向边（不允许重边），问有多少种建图方案满足1到$n$的最短路距离为$K$。$n,K\le 100$

解题分析

很妙的DP！可以考虑对这个图进行分层，第$i$层上所有点的最短路距离都为$i$，那么1在第0层，$n$就在第$K$层，每一层都只能与上一层或这一层中的节点相连。设$f[i][j][k]$为前$i$层一共使用$j$个节点，其中第$i$层有$k$个节点的合法方案。枚举前一层有$x$个，那么明显转移方程为
$$f[i][j][k]=\sum f[i-1][j-k][x]\ast C_{n-j+k+1}^k\ast (2^x-1{)}^k\ast 2^{C_k^2}$$
但是注意如果枚举到第$K$层，那么由于这一层必须有$n$，所以转移方程有一些细节需要调整，而且排完所有层后会存在一些落单的节点，那么这些节点是不能与第$K$层的节点相连的。

示例代码

题目传送门

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int tt=1e9+7;
int n,K,C[105][105],pw[10005];
LL ans,f[105][105][105];
void maken(){
	for (int i=0;i<=n;i++) C[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%tt;
	pw[0]=1; for (int i=1;i<=n*n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%tt;
}
LL ksm(LL x,int y){
	LL sum=1,w=x;
	for (;y;y>>=1,w=w*w%tt) if (y&1) sum=sum*w%tt;
	return sum%tt;
}
int main()
{
	freopen("portal.in","r",stdin);
	freopen("portal.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&K); maken(); f[0][1][1]=1;
	for (int i=1;i<=K;i++)
		for (int j=i+1;j<=n-K+i;j++)
			for (int k=1;k<=j-i;k++){
				LL tem=(i==K)?C[n-j+k-1][k-1]:C[n-j+k-1][k];
				for (int x=1;x<=j-k-i+1;x++)
					f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-k][x]*tem%tt*ksm(pw[x]+tt-1,k)%tt*pw[C[k][2]]%tt)%tt;
				if (i==K) ans=(ans+f[i][j][k]*pw[k*(n-j)+C[n-j][2]]%tt)%tt;
			}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}