扩展中国剩余定理模板

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=a_1+k_1{m}_1\\ x=a_2+k_2{m}_2\end{array}$

$k_1{m}_1+(-k_2)m_2=a_2-a_1$

设$d=\gcd (m_1,m_2),e=a_2-a_1$

使用扩展欧几里得算法求解 $x,y$ ，满足 $x{m}_1+y{m}_2=d$

则有$x\cdot \frac{e}{d}\cdot m_1+y\cdot \frac{e}{d}\cdot m_2=d\cdot \frac{e}{d}$

对比可得$\{\begin{array}{l}{k}_1=x\cdot \frac{e}{d}\\ k_2=-y\cdot \frac{e}{d}\end{array}$

实际上有多组解$\{\begin{array}{l}{k}_1=x\cdot \frac{e}{d}+\frac{m_2}{d}\cdot n\\ k_2=-y\cdot \frac{e}{d}-\frac{m_1}{d}\cdot n\end{array},n\in \mathbb{Z}$

取 $k_1$ 的最小整数解，$\{\begin{array}{l}A=a_1+k_1{m}_1\\ M=lcm(m_1,m_2)=\frac{m_1{m}_2}{d}\end{array}$

合并成了 $x\equiv A(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M)$

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对于有些题目，中间运算结果会爆long long。不要偷懒使用__int128，下面是错误示范 ，乖乖打龟速乘。（也不要手写__int128）

#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a[100005],m[100005];
int n;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {
	if (b==0) {x=1,y=0;return a;}
	LL d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;
	return d;
}
inline void excrt() {
	LL M=1,A=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		LL x,y,d=exgcd(M,m[i],x,y),mm=m[i]/d;
		if ((a[i]-A)%d) {puts("No solution!");return;}
		x=(x%mm+mm)%mm;
		LL k=(LL)((__int128)(a[i]-A)/d*x%mm+mm)%mm;
		LL nM=M*mm;
		A=(LL)((A+(__int128)k*M)%nM);
		M=nM;
	}
	printf("%lld",A);
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld %lld",&m[i],&a[i]);
	excrt();
	return 0;
}