目录
- 尺取法
- 1. 算法分析
- 2. 板子
- 2.1 一维尺取
- 3. 例题
尺取法
1. 算法分析
尺取法： 尺取法通常是对数组保存一对下标，即所选取的区间的左右端点，然后根据实际情况不断地推进区间左右端点以得出答案。尺取法通常可以把一个O(n^2^)的算法利用特殊性质优化到O(n)的复杂度。
for example：
给定一个数列a[n]和一个S, 要求找出连续的一段区间，使得区间和大于等于S，打印这个区间长度的最小值。
- O(n^2^)算法：前缀和预处理，然后O(n^2^)枚举l和r，每次O(1)计算sum[r] - sum[l]=K的值，然后取得K >= S且长度最小的那个。
- 尺取优化：数学性质：对于l1, r1 和l2, r2，如果l1 < l2, 那么当sum[r2] - sum[l2] >= S，则sum[r1] - sum[l1] >= S且r1 <= r2。由这个性质可以知道当l单调增加时，r也是单调不减的。因此利用这个可以优化算法。具体处理：l=1，r=1，然后不断将r向右移动，直到sum[r] - sum[l] >= S。然后右移l同时满足sum[r] - sum[l] >= S。更新一次区间长度。不断重复这个过程移动r和l，不断更新区间长度。
尺取流程
n = 5, S = 11
a[i]: 1 2 3 4 5
一开始：l = 1, r = 1, sum = 0
然后r不断右移：r = 5, sum = 15
右移l：l = 2, sum=15-1=14>=S
继续左移l直到：l = 3, sum = 12
此时找到最小区间长度为2。
2. 板子
2.1 一维尺取
#include
#include
using namespace std;
int const N = 1e5 + 10, INF = 1e9 + 10;
int a[N], n, S, T;
int main() {
cin >> T;
while (T--) {
cin >> n >> S;
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
int l = 1, r = 1, sum = 0, res = INF; // 初始化左、右边界、区间和
while (1) {
while (r <= n && sum < S) sum += a[r++]; // 计算区间和
if (sum < S) break; // 如果小于S说明找不到>=S的情况，直接break
res = min(res, r - l); // 更新区间
sum -= a[l++]; // 右移l
}
if (res == INF) res = 0;
cout << res << endl;
}
return 0;
} 3. 例题
Poj3061 Subsequence
题意： 给定一个数列a[n]和一个S, 要求找出连续的一段区间，使得区间和大于等于S，打印这个区间长度的最小值。
题解： 尺取模板题，具体见代码，思路见1.1
代码：
#include
#include
using namespace std;
int const N = 1e5 + 10, INF = 1e9 + 10;
int a[N], n, S, T;
int main() {
cin >> T;
while (T--) {
cin >> n >> S;
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
int l = 1, r = 1, sum = 0, res = INF; // 初始化左、右边界、区间和
while (1) {
while (r <= n && sum < S) sum += a[r++]; // 计算区间和
if (sum < S) break; // 如果小于S说明找不到>=S的情况，直接break
res = min(res, r - l); // 更新区间
sum -= a[l++]; // 右移l
}
if (res == INF) res = 0;
cout << res << endl;
}
return 0;
} poj3320Jessica's Reading Problem
题意： 给定一个n，然后给定n个数字(可能重复)，要求取得最小的连续区间，使得能够取到这n个数字中所有的数字。n <= 10^6^
题解： 和上题类似，先while循环判断是否已经取到所有出现的数字，然后收缩左端点。尺取法处理即可。
#include
#include
#include
#include