卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数例。由比利时的数学家欧仁·查理·卡 塔兰(1814-1894)命名
卡塔兰数的一般公式为 C(n,2n)/(n+1)
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递归式:
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;
还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1
该递推关系的解为:h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
卡 塔兰数例的前几项为(sequence A000108 in OEIS) [注: n = 0, 1, 2, 3, … n]
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
我并不关心其解是怎么求出来的,我只想知道怎么用catalan数分析问题。
我总结了一下,最典型的三类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解 问题写出递归式了)
矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
类似题目:有N个节点的二叉树公有多少种情形?
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似题目:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人 只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达 视作使栈中某5元出栈)
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形如这样的直角三角形网格,从左上角开始,只能向右走和向下走,问总共有多少种走法?
问题的由来:编号为 1 到 n 的 n 个元素,顺序的进入一个栈,则可能的出栈序列有多少种?
对问题的转化与思考:n 个元素进栈和出栈,总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。
一 个模型:一个 n*n 的正方形网格,从左上角顶点到右下角顶点,只能向右走和向下走。问共有多少种走法。如果将向右走对应上述问题的进栈,向下走对应上述问题的出栈,那么,可 以视此模型为对上述问题的具体描述。而解决此问题,只要在总共从左上角到右下角的2n步中,选定向右走的步数,即共有C(n 2n)中走法。
但是存在一个问题,如果走法越过了对角线,那么对应到上述问题是出栈数比入栈数多,这是不符合 实际的。
对以上模型进行处理,对角线将以上正方形网格分成两部分,只留下包含对角线在内的下半部分,那 么就不会出现越过对角线的问题。而这问题就是开始提出的问题。
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问题等价于:n个1和n个0组成一2n位的2进制数,要求从左到右扫描,1的累计数不小于0的 累计数,试求满足这条件的数有多少?
解答: 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C(n 2n)
不填1的其余n位自动填以数0。从C(n 2n)中减去不符合要求的方案数即为所求。
不合要求的数指的是从左而右扫描,出现0的累计数超过1的累计数的数。
不合要求的数的特征是从左而右扫描时,必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计 数,和m个1的累计数。
此 后的2(n-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如若把后面这部分2(n-m)-1位,0与1交换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得 1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n-1个0和n+1个1组成的一个排列。
反过来,任何一个 由n+1个0,n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多2个,2n是偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0 和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n-1个1组成的2n位数,必对应于一个不合要求的数。
用上述方法建立了由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,与由n个0和n个1组成的2n位数 中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。
例如 10100101
是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位(显示为红色)出现0的累计数 3超过1的累计数2,它对应于由3个1,5个0组成的10100010。
反过来 10100010
对应于 10100101
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应,故有
P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n)
这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似题目:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去 上班。如果他
从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
类似题目:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
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// Name : HDOJ_1130.cpp
// Author : tiger
// Version :
// Copyright : Your copyright notice
// Description : Hello World in C++, Ansi-style
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#include
using namespace std;
int calatan[101][40]={0};
int main() {
//freopen("1130","r",stdin);
calatan[1][0]=1;
int digits=1;
int i,j,k,n,c;
for(i=2;i<=100; i++){
n = 4*i-2;
for(j=0; j
}
c=0;
for(j = 0; j< digits; j++){
calatan[i][j]+=c;
c = calatan[i][j] / 1000;
calatan[i][j] = calatan[i][j]%1000;
}
while(c){
calatan[i][digits++] = c%1000;
c /=1000;
}
c= 0;
n = i+1;
for(j=digits; j>=0;j--) {
k = c*1000+calatan[i][j];
calatan[i][j] = k/n;
c = k%n;
}
while(!calatan[i][digits-1]){
digits--;
}
}
n=1;
while(cin>>n ){
for(i=39;i>=0;i--){
if(calatan[n][i]){
printf("%d",calatan[n][i]);
for(j=i-1;j>=0;j--)
printf("%03d",calatan[n][j]);
cout<
}
}
}
return 0;
}