五、柯西-施瓦茨不等式及应用

1. 柯西-施瓦茨不等式

假设

且

不为0，那么

当且仅当

时

该不等式称为柯西-施瓦茨不等式，Cauchy Schwarz Inequality，其表示的是向量的点积与向量的长度之间的关系。

2. 不等式证明

假设

因为向量的长度大于等于0，所以

根据向量点积的交换率、分配率和结合律

下面做一个替换，目的是简化已展开的不等式，假设

那么

对于任意的t，上面的不等式均成立，假设

那么

因为a不仅非0，而且为正，因此

将a,b,c重新换成向量的积

不等式两边同时开平方

证明完毕

3. 不等式相等

假设

那么

证明完毕

4. 应用--证明三角形两边和大于第三边

应用柯西施瓦茨不等式：

不等式两边同时开平方：

因此，三角形的两边和大于第三边。

为什么要用柯西施瓦茨不等式来证明三角形两边和大于第三边，而不用初中学过的“大角对大边，小角对小边”？因为前者的证明过程可以扩展到n维空间，后者只适用于2维空间。线性代数的美就在于，其理论可以扩展到n维空间。