老青蛙嘎嘎嘎
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五、柯西-施瓦茨不等式及应用

1. 柯西-施瓦茨不等式

假设

\vec{x},\vec{y} \in R^n

且

\vec{x},\vec{y}

不为0，那么

\left | \vec{x} \cdot \vec{y} \right | \leqslant \left \| \vec{x} \right \| \left \| \vec{y} \right \|

当且仅当

\vec{x} = c\vec{y}

时

\left | \vec{x} \cdot \vec{y} \right | = \left \| \vec{x} \right \| \left \| \vec{y} \right \|

该不等式称为柯西-施瓦茨不等式，Cauchy Schwarz Inequality，其表示的是向量的点积与向量的长度之间的关系。

2. 不等式证明

假设

P(t)=\left \| t\vec{y} - \vec{x} \right \| ^2

因为向量的长度大于等于0，所以

\left \| t\vec{y} - \vec{x} \right \| ^2 \geqslant 0

(t\vec{y}-\vec{x}) \cdot (t\vec{y}-\vec{x}) \geqslant 0

根据向量点积的交换率、分配率和结合律

t\vec{y} \cdot t\vec{y} + t\vec{y} \cdot (-1\vec{x}) + (-1\vec{x}) \cdot t\vec{y} + (-1\vec{x}) \cdot (-1\vec{x}}) \geqslant 0

(\vec{y} \cdot \vec{y})t^2 -2(\vec{x} \cdot \vec{y})t + \vec{x} \cdot \vec{x} \geqslant 0

下面做一个替换，目的是简化已展开的不等式，假设

\vec{y} \cdot \vec{y} = a \qquad 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = b \qquad \vec{x} \cdot \vec{x} = c

那么

P(t) = at^2 -bt + c \geqslant 0

对于任意的t，上面的不等式均成立，假设

t=\frac{b}{2a}

那么

P(\frac{b}{2a})=a(\frac{b}{2a})^2-b(\frac{b}{2a})+c \geqslant 0

\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \geqslant 0

c \geqslant \frac{b^2}{4a}

因为a不仅非0，而且为正，因此

b^2 \leqslant 4ac

将a,b,c重新换成向量的积

(2(\vec{x} \cdot \vec{y}))^2 \leqslant 4(\vec{y} \cdot \vec{y})(\vec{x} \cdot \vec{x})

(\vec{x} \cdot \vec{y})^2 \leqslant \left \| \vec{y} \right \|^2 \left \| \vec{x} \right \|^2

不等式两边同时开平方

\left | \vec{x} \cdot \vec{y} \right | \leqslant \left \| \vec{x} \right \| \left \| \vec{y} \right \|

证明完毕

3. 不等式相等

假设

\vec{x} = c\vec{y}

那么

\left | \vec{x} \cdot \vec{y} \right | = \left | c\vec{y} \cdot \vec{y} \right | = \left | c \right | \left | \vec{y} \cdot \vec{y} \right | = \left | c \right | \left \| \vec{y} \right \|^2

=\left | c \right | \left \| \vec{y} \right \| \left \| \vec{y} \right \| = \left \| c\vec{y} \right \| \left \| \vec{y} \right \| = \left \| \vec{x} \right \| \left \| \vec{y} \right \|

证明完毕

4. 应用--证明三角形两边和大于第三边

\left \| \vec{x}+\vec{y} \right \|^2=(\vec{x}+\vec{y}) \cdot (\vec{x}+\vec{y})

=\vec{x} \cdot \vec{x} + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y} \cdot \vec{y}

=\vec{x} \cdot \vec{x} + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y} \cdot \vec{y} = \left \| \vec{x} \right \|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \left \| \vec{y} \right \|^2

\leqslant \left \| \vec{x} \right \|^2 + 2\left | \vec{x} \cdot \vec{y} \right | + \left \| \vec{y} \right \|^2

应用柯西施瓦茨不等式：

\leqslant \left \| \vec{x} \right \|^2 + 2\left \| \vec{x} \right \|\left \| \vec{y} \right \| + \left \| \vec{y} \right \|^2

\leqslant (\left \| \vec{x} \right \| + \left \| \vec{y} \right \|)^2

不等式两边同时开平方：

\left \| \vec{x} + \vec{y} \right \| \leqslant \left \| \vec{x} \right \| + \left \| \vec{y} \right \|

因此，三角形的两边和大于第三边。

为什么要用柯西施瓦茨不等式来证明三角形两边和大于第三边，而不用初中学过的“大角对大边，小角对小边”？因为前者的证明过程可以扩展到n维空间，后者只适用于2维空间。线性代数的美就在于，其理论可以扩展到n维空间。

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  • 读《研磨设计模式》-代码笔记-策略模式-Strategy bylijinnan java设计模式
    声明： 本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步 原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ /* 策略模式定义了一系列的算法，并将每一个算法封装起来，而且使它们还可以相互替换。策略模式让算法独立于使用它的客户而独立变化 简单理解： 1、将不同的策略提炼出一个共同接口。这是容易的，因为不同的策略，只是算法不同，需要传递的参数
  • cmd命令值cvfM命令 chenyu19891124 cmd
         cmd命令还真是强大啊。今天发现jar -cvfM aa.rar @aaalist 就这行命令可以根据aaalist取出相应的文件   例如：      在d：\workspace\prpall\test.java 有这样一个文件，现在想要将这个文件打成一个包。运行如下命令即可比如在d：\wor
  • OpenJWeb(1.8) Java Web应用快速开发平台 comsci java框架Web项目管理企业应用
        OpenJWeb(1.8) Java Web应用快速开发平台的作者是我们技术联盟的成员，他最近推出了新版本的快速应用开发平台  OpenJWeb(1.8)，我帮他做做宣传   OpenJWeb快速开发平台以快速开发为核心，整合先进的java 开源框架，本着自主开发+应用集成相结合的原则，旨在为政府、企事业单位、软件公司等平台用户提供一个架构透
  • Python 报错：IndentationError: unexpected indent daizj pythontab空格缩进
        IndentationError: unexpected indent 是缩进的问题，也有可能是tab和空格混用啦     Python开发者有意让违反了缩进规则的程序不能通过编译，以此来强制程序员养成良好的编程习惯。并且在Python语言里，缩进而非花括号或者某种关键字，被用于表示语句块的开始和退出。增加缩进表示语句块的开
  • HttpClient 超时设置 dongwei_6688 httpclient
    HttpClient中的超时设置包含两个部分： 1. 建立连接超时，是指在httpclient客户端和服务器端建立连接过程中允许的最大等待时间 2. 读取数据超时，是指在建立连接后，等待读取服务器端的响应数据时允许的最大等待时间   在HttpClient 4.x中如下设置：   HttpClient httpclient = new DefaultHttpC
  • 小鱼与波浪 dcj3sjt126com
    一条小鱼游出水面看蓝天，偶然间遇到了波浪。　　小鱼便与波浪在海面上游戏，随着波浪上下起伏、汹涌前进。　　小鱼在波浪里兴奋得大叫：“你每天都过着这么刺激的生活吗？简直太棒了。”　　波浪说：“岂只每天过这样的生活，几乎每一刻都这么刺激！还有更刺激的，要有潮汐变化，或者狂风暴雨，那才是兴奋得心脏都会跳出来。”　　小鱼说：“真希望我也能变成一个波浪，每天随着风雨、潮汐流动，不知道有多么好！”　　很快，小鱼
  • Error Code: 1175 You are using safe update mode and you tried to update a table dcj3sjt126com mysql
    快速高效用：SET SQL_SAFE_UPDATES = 0；下面的就不要看了！ 今日用MySQL Workbench进行数据库的管理更新时，执行一个更新的语句碰到以下错误提示： Error Code: 1175 You are using safe update mode and you tried to update a table without a WHERE that
  • 枚举类型详细介绍及方法定义 gaomysion enumjavaee
    转发 http://developer.51cto.com/art/201107/275031.htm 枚举其实就是一种类型，跟int, char 这种差不多，就是定义变量时限制输入的，你只能够赋enum里面规定的值。建议大家可以看看，这两篇文章，《java枚举类型入门》和《C++的中的结构体和枚举》，供大家参考。 枚举类型是JDK5.0的新特征。Sun引进了一个全新的关键字enum
  • Merge Sorted Array hcx2013 array
    Given two sorted integer arrays nums1 and nums2, merge nums2 into nums1 as one sorted array. Note:You may assume that nums1 has enough space (size that is
  • Expression Language 3.0新特性 jinnianshilongnian el 3.0
    Expression Language 3.0表达式语言规范最终版从2013-4-29发布到现在已经非常久的时间了；目前如Tomcat 8、Jetty 9、GlasshFish 4已经支持EL 3.0。新特性包括：如字符串拼接操作符、赋值、分号操作符、对象方法调用、Lambda表达式、静态字段/方法调用、构造器调用、Java8集合操作。目前Glassfish 4/Jetty实现最好，对大多数新特性
  • 超越算法来看待个性化推荐 liyonghui160com 超越算法来看待个性化推荐
             一提到个性化推荐，大家一般会想到协同过滤、文本相似等推荐算法，或是更高阶的模型推荐算法，百度的张栋说过，推荐40%取决于UI、30%取决于数据、20%取决于背景知识，虽然本人不是很认同这种比例，但推荐系统中，推荐算法起的作用起的作用是非常有限的。       就像任何
  • 写给Javascript初学者的小小建议 pda158 JavaScript
    　　一般初学JavaScript的时候最头痛的就是浏览器兼容问题。在Firefox下面好好的代码放到IE就不能显示了，又或者是在IE能正常显示的代码在firefox又报错了。 　　如果你正初学JavaScript并有着一样的处境的话建议你：初学JavaScript的时候无视DOM和BOM的兼容性，将更多的时间花在 了解语言本身（ECMAScript）。只在特定浏览器编写代码（Chrome/Fi
  • Java 枚举 ShihLei javaenum枚举
    注：文章内容大量借鉴使用网上的资料，可惜没有记录参考地址，只能再传对作者说声抱歉并表示感谢！   一 基础 1）语法      枚举类型只能有私有构造器（这样做可以保证客户代码没有办法新建一个enum的实例）      枚举实例必须最先定义 2）特性     &nb
  • Java SE 6 HotSpot虚拟机的垃圾回收机制 uuhorse javaHotSpotGC垃圾回收VM
    官方资料，关于Java SE 6 HotSpot虚拟机的garbage Collection，非常全，英文。 http://www.oracle.com/technetwork/java/javase/gc-tuning-6-140523.html   Java SE 6 HotSpot[tm] Virtual Machine Garbage Collection Tuning &
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