行列式

重要概念

1. 逆序数判定正负号
2. 余子式、代数余子式与值无关
3. 克拉默法则：
   $$x_i=\frac{D_i}{D}$$
   推论1：若$|A|\ne 0，则方程只有零解$
   推论2：若方程有非零解，则$|A|=0$
4. 秩：
   $$r(A)=0\iff A=O$$
   $$A\ne O\iff r(A)\ge 1$$
   若$A$为$m\times n$矩阵，则：
   $$r(A)\le \min (m,n)$$

重要公式

1. 公式：
   $$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$
2. 四阶以上副对角线符号判定：
   $$|A|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}{a}_{n1}$$
3. 拉普拉斯展开式：
   $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ \ast & B\end{array}\right|=|A|\cdot |B| \\ \left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A|\cdot |B| \end{gathered}$$
4. 范德蒙行列式：
   $$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_1& x_2& \dots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \dots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \dots & ⋮\\ x_1^n& x_2^n& \dots & x_n^n\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$$
5. 行列式公式：
   $$|A^T|=|A|$$
   $$|kA|=k^n|A|$$
   $$|AB|=|A||B|$$
   $$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
   $$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$$
   $$|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$
   若A与B相似，则：
   $$|A|=|B|$$