数据结构（四）算法的时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)

随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：

T(n) =O(f(n))。它表示随时间规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，

称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度，其中f(n) 是问题规模的某个函数。

 

随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

 

推导大O阶方法

1.       用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.       在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3.       如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

得到结果就是大O阶

常数阶

顺序结构

这个函数的运行次数函数是f(n) = 3,第一步就是把常数项3改为1.没有最高阶项，所以时间复杂度为O(1).

对于分支结构，无论是真是假，执行次数都是恒定的，不会随着n的变化而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)

 

线性阶

线性阶的循环结构复杂得多。分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

循环体中的代码要执行n次，循环的时间复杂度为O（n）

 

对数阶

有多少个2相乘后大于n会退出循环，2^x = n   x = log2n 所以时间复杂度为O(log2n)

平方阶

内层循环n次，外层再循环n次，所以时间复杂度为O(n^2)

所以，得出结论，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环的次数

 

由于当I = 0 时，内循环执行了n次，当I = 1时，执行了n – 1次……，所以总的执行次数为：n + (n- 1) + (n - 2) + ……+1 = (n^2 + n) / 2

用推导大O阶的方法，第一，没有加法常数不予考虑；第二，只保留最高阶项，因此保留

n^2/2;第三，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n^2)

 

f(n) = 1 + n + n^2 + n(n + 1) /2 = 3/2n^2 +3/2n + 1, 根据推导大O阶的方法，这段代码的时间复杂度为O(n^2)

 

常见的时间复杂度