无聊游戏（博弈+思维+数学推导+模糊模拟）

问题 B: 无聊游戏

问题 B: 无聊游戏

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题目描述

小N和小A在玩这样的一个游戏：给定初始数列Q，小N先把某个前缀（可以为空）的数字全部乘上−A，小A再把某个后缀（可以为空）的数字全部乘上−B，小N想让最后所有数的和尽量大，而小A想让最后所有数的和尽量的小。
因为小A无比聪明绝对不会失误，所以小N想找到某个方法使得最后所有数的和尽量大，请帮助小N求出最大的值是多少吧。

 

输入

第一行三个正整数N,A,B，表示数列的长度和小N小A乘的数。
第二行有N个整数表示数列Q。

 

输出

输出一行一个整数S，表示最后数列的和的最大值。

 

样例输入

复制样例数据

3 1 1
-1 -2 -3

样例输出

0

 

提示

如果小N修改前0个数，那么小A修改后0个数，数列是{−1,−2,−3}，和为−6。
如果小N修改前1个数，那么小A修改后0个数，数列是{1,−2,−3}，和为−4。
如果小N修改前2个数，那么小A修改后0个数或后3个数，数列是{1,2,−3}或{−1,−2,3}，和为0。
如果小N修改前3个数，那么小A修改后3个数，数列是{1,−2,−3}，和为−6。
最后答案是max{−6,−4,0,−6}=0。
对于50%的数据，有n≤5000。
对于70%的数据，有n≤100000。
对于100%的数据，有n≤1000000,1≤A,B≤100,∣Qi∣≤109。

sum是前缀和

对于小N修改前p个数，小A如何修改能使所有数的和尽量小呢？很明显，你并不能清楚的知道小A要如何修改（废话）

但是，小A的修改无非就以下几种情况

设小N修改到p位置，小A修改到q位置（1<=q<=n）

1.p,整理可得 -(1+A)*sum[p]+(B+1)*sum[q-1]-B*sum[n]

要使这个式子最小，那么就要使sum[q-1]最小，因为p

2.p<=q,整理可得 -A*(1+B)*sum[q-1]+B*(1+A)*sum[p]-B*sum[n]

要使这个式子最小，那么就要使sum[q-1]最大，因为1<=q<=p,所以0<=q-1<=p-1

 

可以注意到假设的时候只说了q的范围，并没有说p的范围，

首先p属于[1,n]没有问题，很明显p=0的时候，用前缀和求出来的也没问题，所以上述式子中的p的范围是[0,n]，也就是说包括了小N修改的前缀是空的情况

但是并不能包括小A修改的后缀为空的时候，因为小A修改的那段区间的值是用sum[n]-sum[x],即式子是在小A必修改的情况小推出来的，但是小A也可以不修改

3.小A不修改 -A*sum[p]+sum[n]-sum[p]

那么哪一种能让和最小呢，这几种情况取最小值呗

所有最小值的最大值就是答案

 

 

整理补充

关于模糊问题，这几天做题也遇到过几道

1.小车过线问题，后面的车可能会被前面的车所限制，那么最后一辆车到底会被哪辆车为首的“车队”限制呢？咱也不会求

假设是第i辆车为首限制的，那么可以求出一个时间，枚举每一个i,时间最长那个就是答案

具体问题看这吧https://blog.csdn.net/lgz0921/article/details/96895594

2.修改一条边，使最短路大小改变，显然是修改所有最短路的共有边才能是最短路的值改变，那么那条边是共有边呢，我不知道，我也不会求（如果有大佬会，可以评论一下）。那就模糊处理呗，既然是所有最短路共有的，那么枚举一条最短路上的所有边，肯定就包含了所有最短路共有的边喽

https://blog.csdn.net/qq_42936517/article/details/97809823

 

 

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5;
ll sum[N];
ll minsum[N];//minsum[i]表示[i,n-1]内最小的前缀和 
ll maxsum[N];//maxsum[i]表示[0,i]内最大的前缀和 
int n,A,B; 
inline ll f1(int p){
    ll ans=1LL*(-1)*(1+A)*sum[p]+(B+1)*minsum[p]-B*sum[n];
    return ans;
}
inline ll f2(int p){
    ll ans=1LL*(-1)*A*(1+B)*maxsum[p-1]+B*(1+A)*sum[p]-B*sum[n];
    return ans;
}
inline ll f3(int p){
    ll ans=1LL*-A*sum[p]+sum[n]-sum[p];
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];   
    } 
    maxsum[0]=0; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    maxsum[i]=max(maxsum[i-1],sum[i]);
    minsum[n]=1e18;
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    minsum[i]=min(minsum[i+1],sum[i]);
    ll ans=-1e18; 
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(i==n) {
            ans=max(ans,min(f2(i),f3(i)));
            //cout<