【每日一题-leetcode】最大公约数

结合辗转相除法和更相减损术，在更相减损术的基础上使用移位运算。

众所周知，移位运算的性能非常好。

对于给出的正整数a和b，不难得到如下的结论。

• 当a和b均为偶数时，gcd(a,b) = 2×gcd(a/2, b/2) = 2×gcd(a>>1,b>>1)。

• 当a为偶数，b为奇数时，gcd(a,b) = gcd(a/2,b) = gcd(a>>1,b)。

• 当a为奇数，b为偶数时，gcd(a,b) = gcd(a,b/2) = gcd(a,b>>1)

• 当a和b均为奇数时，先利用更相减损术运算一次，gcd(a,b) =gcd(b,a-

b)，此时a-b必然是偶数，然后又可以继续进行移位运算。

例如计算10和25的最大公约数的步骤如下。

1. 整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数。
2. 利用更相减损术，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数。
3. 整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数。
4. 整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数。
5. 利用更相减损术，因为两数相等，所以最大公约数是5。
   这种方式在两数都比较小时，可能看不出计算次数的优势；当两数
   越大时，计算次数的减少就会越明显

/**
     * 最优解发，结合使用
     * @param a
     * @param b
     * @return
     * 判断整数奇偶性的方式是让整数和1进行与运算，
     * 如果(a&1)==0，则说明整数a是偶数；
     * 如果(a&1)!=0，则说明整数a是奇数。
     */
    public static int gcd(int a, int b) {
     
        //递归终止条件
        if (a == b) {
     
            return a;
        }
        if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {
     
            return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
        } else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0) {
     
            return gcd(a >> 1, b);
        } else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0) {
     
            return gcd(a, b >> 1);
        } else {
     
            int max = Math.max(a, b);
            int min = Math.min(a, b);
            return gcd(max - min, min);
        }
    }