CORDIC算法详解(三)-CORDIC 算法之线性系统及其数学应用

CORDIC算法详解（三）- CORDIC 算法之线性系统及其数学应用

  网上有很多类似的介绍，但是本文会结合实例进行介绍，尽量以最简单的语言进行解析。
  CORDIC ( Coordinate Rotation Digital Computer ) 是坐标旋转数字计算机算法的简称，
由 Vloder• 于 1959 年在设计美国航空导航控制系统的过程中首先提出[1], 主要用于解决导航系统中三角函数、 反三角函数和开方等运算的实时计算问题。 1971 年， Walther 将圆周系统、 线性系统和双曲系统统一到一个 CORDIC 迭代方程里 ， 从而提出了一种统一的CORDIC 算法形式[2]。
  CORDIC 算法应用广泛， 如离散傅里叶变换 、 离散余弦变换、 离散 Hartley 变换、Chirp-Z 变换、 各种滤波以及矩阵的奇异值分解中都可应用 CORDIC 算法。 从广义上讲，CORDIC 算法提供了一种数学计算的逼近方法。 由于它最终可分解为一系列的加减和移位操作， 故非常适合硬件实现。 例如， 在工程领域可采用 CORDIC 算法实现直接数字频率合成器。 本节在阐述 CORDIC 算法三种旋转模式的基础上， 介绍了利用 CORDIC 算法计算三角函数、 反三角函数和复数求模等相关理论。 以此为依据， 阐述了基于 FPGA 的 CORDIC 算法的设计与实现及其工程应用。

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整个系列分别从圆周系统、 线性系统和双曲系统及硬件实现进行分析，如下：

CORDIC算法详解（一）- CORDIC 算法之圆周系统之旋转模式（ Rotation Mode )
CORDIC算法详解（二）- CORDIC 算法之圆周系统之向量模式（Vectoring Mode）
CORDIC算法详解（三）- CORDIC 算法之线性系统及其数学应用
CORDIC算法详解（四）- CORDIC 算法之双曲系统及其数学应用
CORDIC算法详解（五）- 统一的 CORDIC 算法形式
CORDIC算法详解（六）- CORDIC 算法的硬件实现
其中第五篇及第六篇后会放出相关参考资料及源码。

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3 CORDIC 算法之线性系统及其数学应用

3.1 CORDIC 算法之线性系统

  线性系统下的坐标系如下所示，基本推导过程和旋转坐标系类似，就不在多述。

  PS:各个坐标系对比图

  线性系统下的 CORDIC 算法亦有旋转模式与向量模式， 如图 3.83 所示。 其中， 旋转模式解决了乘法计算问题， 向量模式解决了除法计算问题。

  在线性系统中， 第 i次的旋转角度为

  这里初始化迭代的顺序号由 1 起始而不是由 0 起始， 从而

  计算 y=xz 可如式(3.114 ) 所示。   式 （3.114) 中， 将 z 分解为一系列的2 ^-i 的组合， 即:

  其中d_i∈{+1， -1} 结合式 （3.114 ) 和 （3.115 ) 可得出图 3.83 所示的迭代过程。 式 （3.115 )也进一步表明， 只有当|z|≤1 时， 才可以表示为一系列的2^-i（i=1,2,…,） 的线性组合； 也证明了为什么迭代顺序号由 1 开始而不是由 0 开始。 由此也限定了在旋转模式下|z₁|≤1 ，在向量模 式 下|y₁/x₁|≤1 。

3.2 CORDIC 算法之线性系统数学应用

3.2.1 旋转模式

  旋转模式下， 可利用 CORDIC 算法实现乘法运算， 要求|z|≤1 ，如图 3.84 所示。 图中x₁= 100 , z₁ =-1:0.1:1 ， 即 z₁起始值为-1，步进为 0.1，终止值为 1。

3.2.2 向量模式

  向量模式下， 可利用 CORDIC 算法实现除法运算， 要求|y₁/x₁|≤1 即 |y₁|≤ |x₁|且x₁>1 。若令y₁=1，x₁>1，z₁=0，则可以获得x₁>1的倒数1/x₁>1，如图3.85所示。

  获得倒数之后就可以很方便的实现除法运算了。

3.2.3 MATLAB程序

% /*
% * @Author: ZLK
% * @Date:   2018-10-31 10:00:17
% * @Last Modified by:   ZLK
% * @Last Modified time: 2018-10-31 10:05:24
% */
function a = cordic_lr(x1,y1,z1,mode,it)
% File: cordic_lr.m
% Note: Linear Rotation of Cordic Algorithm.
% xl,yl,zl: input parameters.
% mode: 0 rotation mode; 1 vectoring mode.
% mode: 0 z0 [-1,1].
% mode: 1 abs(y)<=abs(x).
% it: iteration number.
x = zeros(it+1,1);
y = zeros(it+1,1);
z = zeros(it+1,1);
x(1)= x1;
y(1)= y1;
z(1) = z1;
di = 0;
for k=1:it
	if mode==0
		di = sign(z(k));
	else
		di = sign(-y(k));
	end
	x(k+1)= x(k);
	y(k+1)= y(k)+x(k)*di*2^(-k);
	z(k+1)= z(k)-di*2^(-k);
end
xn = x(it+1);
yn = y(it+1);
zn = z(it+1);
if mode==0
	xt = x1;
	yt = y1+x1*z1;
	zt = 0;
else
	xt = x1;
	yt = 0;
	zt = z1+y1/x1;
end
a =[xn,xt,yn,yt,zn,zt];

  结果如下：
  旋转模式下：100*（±1）

  向量模式下：分别求1/2 及 1/4