卡特兰数（组合方法求解）

首先描述一个卡特兰数问题：

2n个人排队买票，其中n个人持50元，n个人持100元。每张票50元，且一人只买一张票。初始时售票处没有零钱找零。请问这2n个人一共有多少种排队顺序，不至于使售票处找不开钱？(《编程之美》4.3 买票找零)

为了将问题简单化，将持有50元的人看成1，持有100元的人看成0，这样，只要满足：在任何0位置之前，1的数目多于0的数目，就能满足要求，及合法排列，否则为不合法排列。

1、求2n个1和0的全排列数目：C(2n,n)，即从2n个位置中选取n放置0（或者1）。

2、求取不满足要求的组合数（合法的组合数不好求）：

        不满足要求的组合数的特点：总能找到一个位置K，使得0的数目比1的数目多1。那么很明显，k后面的0的数目比1的数目要少1.（为什么要找位置k？因为，我要让前面K个位置0、1排列不管怎么排列都不合法）

        此后，我们关注k位置后面的排列：因为k后面的排列中，明显0比1少，那么我们可以将0和1互换（为什么要互换？首先，0、1互换后，两种排列方式的总数目是不变的，其次，互换后的排列中0比1多1个，那么不管怎么排列，都不合法），这样互换后2n个数的排列不管怎么排列都不合法（值得注意的是，互换后的组合排列数目，和互换前的是相同的，因为前面的排列不变且后面排列组合方式的数目一样。）

        现在来计算互换后排列的数目：互换后排列的数目中0为n+1个，1为n-1个，那么组合数就相当于从2n个位置选取n+1个位置放0，即为C（2n,n+1）

3、卡特兰数的组合数为C(2n,n)-C(2n,n+1).