catalan(卡特兰)数

一:

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)h[0]=h[1]=1;

h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1

h(n)=C(2n,n)

一般情况(要取模)下的求法:

简单的catalan模板题

这个题要取1e9+7的模,直接按照公式h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1挨个递推求

除n+1变为乘n+1在1e9+7下的逆元

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using namespace std;
const int mod=1000000007;
long long h[1000005];
long long rev(long long  x)
{
    long long ans=1,c=mod-2,base=x;
    x%=mod;
    while(c)
    {
        if(c&1)
        {
            ans*=base;
            ans%=mod;
        }
        base*=base;
        base%=mod;
        c/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    long long n,i,t,T,cas=0;
    h[0]=1;
    for(i=1;i<=1000000;i++)
    {
        h[i]=(h[i-1]*(4*i-2))%mod;
        h[i]=(h[i]*rev(i+1))%mod;
    }
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        printf("Case #%lld:\n%lld\n",++cas,h[n]);
    }
    return 0;
}

二:递推求卡特兰数

假设k为最后进栈的数,那么比k小的数有k-1个,比k大的数有n-k个

这样总共会有(k-1)*(n-k)种情况

k可以取1......n,所以卡特兰数有res[0]*res[n-1]+res[1]*res[n-2]+....+res[n-1]*res[0]个;

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#include
using namespace std; 
typedef long long ll;
ll res[60005];
int main()
{
     ll n,i,j,t;
     res[0]=1;
     for(i=1;i<=60000;i++)
     {
          t=0;
          for(j=0;j<=i;j++)
               t+=res[j]*res[i-j-1];
     //t等于 res[0]*res[i-1]+res[1]*res[i-2]+...res[i-1]*res[0]
          res[i]=t;
     }
     while(scanf("%lld",&n)==1)
     {
          printf("%lld\n",res[n]);
     }
     return 0;
}

 

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