求数组中最长递增子序列

例如在序列1，-1,2，-3,4，-5,6,-7中，其最长的递增子序列为1,2,4,6。

解法一：假设在目标数组array[]的前i个元素中，最长递增子序列的长度为LIS[i]。那么，LIS[i+1]=max{1,LIS[k]+1},array[i+1]>array[k],forany k<=i。（LIS[i]是指：假设在数组的前i个元素中，以array[i]为最大元素的最长递增子序列的长度）。

思想：穷举的方法，LIS中记录了长度，通过无后效性性质，只需与末尾的array[i]比较即可（很好理解），复杂度为O(N*N+N)=O(N)。

int LIS(int[] array){

    int[] LIS =new int[array.length];

    for(int i =0;i

        LIS[i] =1;

        for(int j= 0;j

            if(array[i]>array[j]&&LIS[j]+1>LIS[i]){//穷举比较，获得最长长度

                LIS[i]= LIS[j]+1;}

        }

    }

    returnMax(LIS);

}

解法二：在递增序列中，如果i，那么就会有MaxV[i]MaxV[j]这情况。

maxV[i]表示长度为i的递增子序列的最大元素的最小值；nMaxLIS表示数组最长递增子序列长度。

代码：

int LIS(int[] array){

    int[] maxV =new int[array.length+1];//记录数组中的递增序列信息

    int[] LIS =new int[array.length];

    maxV[1] =array[0];

    maxV[0] =min(array)-1;//数组中最小值-1,边界值。

    for(int i =0;i

        LIS[i] =1;

    }

    int nMaxLIS =1;

    for(int i = 1;i

        int j;

//先考虑当前最大长度子序列，看可否增加，不行再长度递减观察

        for(j =nMaxLIS;j>=0;j--){

            if(array[i]>maxV[j]){

                LIS[i]= j+1;

                break;

            }

        }

//如果当前最长序列大于最长递增序列长度，更新最长信息

        if(LIS[i]>nMaxLIS){

            nMaxLIS= LIS[i];

            maxV[LIS[i]]= array[i];

        }

//如果array[i]比最长递增子序列最大值要小，则替换原先的最大值（前面break处就有array[i]>maxV[j]，添maxV[j]

        elseif(maxV[j]

            maxV[j+1]= array[i];

        }

    }

    returnnMaxLIS;

}

时间复杂度为O(N*N)。内部循环穷举查询那边，可以用二分搜索加速，把时间复杂度降为O(N*log₂N)。

附加：最长公共上升子序列

设f[j]为必选择b[j]为末尾时的最长公共上升子序列

代码如下：

//通过固定a[i]，循环b[j]进行比较。很好理解，忘记了，可以结合1,2,0,4,5和1,0,4,5,2的例子跟代码一起理解。

int i,j,k;

for(i=0;i

    k = 0;

    for(j =0;j

        if(a[i]== b[j])

            if(f[j]

                    f[j]= f[k]+1;

        //必须要有，很好理解当a[i]值比b[j]大时，需要更新k，因为能够去与f[j]比较了，而a[i]比b[j]小时，是没资格去获取f[j]

        if(a[i]>b[j])

            if(f[k]

                k= j;

    }

}

返回max(f(i));