第四届蓝桥杯编程题:带分数
100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714
还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197
注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。
类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。
题目要求：
从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)
程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！
例如：
用户输入：
100
程序输出：
11
再例如：
用户输入：
105
程序输出：
6
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 64M
CPU消耗 < 3000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.6及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
分析：这道题初看起来第一感觉就是用暴力破解应该可以搞定，但是时间复杂度应该会相当可观，仔细观察，会发现这道题无非是全排列的一种运用，把等式定义为：
N=A+B/C ，则ABC组合在一起就是1到9的一个全排列，所以可以把问题转换成对于一个9位数的数字，如何将其划分为A、B、C三部分，使得其满足N=A+B/C（隐含条件:
B%C==0）,对于一个9位数可以这样考虑：A是不可能大于N的，所以A的位数只可能是从1位到和N相同位数这个范围，确定了A的位数之后，剩下的就是B和C的总位数，
B数字的开始位置即A数字的下一位，C数字的最后一位就是整个9位数的最后一位，那如何确定B的结束位置呢？
这里有个小技巧，可以大大减少可能性的判断：
假设A的结束位置为 aEnd,则aEnd+1~9就是B和C的位置，在这个位置范围内，B最少占据了一半的数字，否则B/C就不能整除了，所以可以从aEnd+1~9的中间位置开始
确定B的结束位置，这时候可以从中间位置开始向后确定B的结束位置，一直到8的位置，确定了B的结束位置，则A、B、C三个数字的具体值就都可以确定了，判断是否符
合等式N=A+B/C，符合则输出。
以上确定B的结束位置的方法其实不怎么好，因为还是会浪费一些时间（自己模拟下就知道了），不过已经可以在规定的时间内得出答案了。
这里再介绍一种确定B结束位置的方法，可以让性能再提高一些：
观察等式：N=A+B/C，可以转换成==》B=(N-A)*C，N和A确定了(先确定A的结束位置后，再来确定B的结束位置的)，C的最后一个数字确定了(整个9位数最后一位)，即可以确定B最后一个数字了(这里将其定义为BL)，这样可以从以上的aEnd+1~9的中间位置开始找，直到8，当数字为BL时，则判读是否符合等式：N=A+B/C，可以想想，其实这种等于BL的位置至多有一次(因为数字1到9不能重复出现)，所以第一次找到和BL匹配的数字的时候就不用再往后找了。用这种方法，提高的性能还是非常可观的！
思想其实挺简单，想不到打成字这么麻烦，将就着看吧，以下为java版的代码：
import java.util.Scanner;
public class ys_09 {
public static void main(String[] args) {
//将等式定义为：N=A+B/C
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
N=scanner.nextInt();
long start=System.currentTimeMillis();
int[] s=new int[]{1,2,3,4,5,6,7,8,9};
NLength=(N+"").length();
allRange(s, 0, s.length-1);
long end=System.currentTimeMillis();
System.out.println("耗时:"+(end-start)+" ms");
System.out.println("总数为:"+kinds+" 种");
}
public static int N;
public static int NLength;//N数字的长度
public static int kinds;
public static void process(int[] s){
String str="";
for(int i=0;i<9;i++) str+=s[i];
int A,B,C,NMA,BC,BMCL,BLastNumber;
//A的位数
for(int i=1;i<=NLength;i++){
/*
//方法1
A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
NMA=N-A;//N减去A的值
if(NMA<=0)return;
BC=9-i;//B和C还有多少为可用
BMCL=(NMA+"").length();//B/C的长度
//确定的B的结束为止
for(int j=i+BC/2;j<=8;j++){//可以优化这里
B=Integer.valueOf(str.substring(i,j));
C=Integer.valueOf(str.substring(j,9));
if(B%C==0&&B/C==NMA){
kinds++;
System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
}
}
*/
//方法2
A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
NMA=N-A;
if(NMA<=0)return;
BC=9-i;//B和C总共多少位
BLastNumber=(NMA*s[8])%10;//B最后的数字
//j为B最后一个数字的位置
//B最少占有B和C全部数字的一半，否则B/C不可能为整数
for(int j=i+BC/2-1;j<=7;j++){
//找到符合的位置
if(s[j]==BLastNumber){
B=Integer.valueOf(str.substring(i,j+1));
C=Integer.valueOf(str.substring(j+1,9));
if(B%C==0&&B/C==NMA){
kinds++;
System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
}
//符合要求的位置只可能出现一次
break;
}
}
}
}
public static void swap(int[] s,int a,int b){
if(a==b)return;
int tmp=s[a];
s[a]=s[b];
s[b]=tmp;
}
//全排列
public static void allRange(int[] s,int k,int m){
if(k==m){
process(s);
return;
}
else{
for(int i=k;i<=m;i++){
swap(s,k,i);
allRange(s, k+1, m);
swap(s,k,i);
}
}
}
}输入:100
输出:
100=3+69258/714
100=82+3546/197
100=81+5643/297
100=81+7524/396
100=94+1578/263
100=96+2148/537
100=96+1428/357
100=96+1752/438
100=91+5742/638
100=91+5823/647
100=91+7524/836
耗时:554 ms
总数为:11 种另外补充一份C语言实现的代码：
#include
#include
#include
int number, n = 0;
int list[9] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
int test;
void swap(int *a, int *b)
{
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
int getNum(int s, int an)
{
int i, num = 0;
for (i = s; i <= an; i++)
{
num = list[i] + num * 10;
}
return num;
}
void perm(int k, int m, int x)
{
int i, j, a, b, c;
if (k > m)
{
for (i = 0; i < x; i++)
{
a = getNum(0, i);
test=((number-a)*list[8])%10;
for (j =i+(8-i)/2; j < 8; j++)
{
if(list[j]==test)
{
b = getNum(i + 1, j);
c = getNum(j + 1, 8);
if (b % c == 0 && a + b / c == number)
{
n++;
}
break;
}
}
}
}
else
{
for (i = k; i <= m; i++)
{
swap(&list[k], &list[i]);
perm(k + 1, m, x);
swap(&list[k], &list[i]);
}
}
}
int main()
{
clock_t s1, s2;
int temp, x;
while(scanf("%d", &number) != EOF && number != 0)
{
x = 0;
temp = number;
s1 = clock();
n = 0;
while (temp != 0)
{
x++;
temp /= 10;
}
perm(0, 8, x);
printf("total:%d\n", n);
s2 = clock();
printf("%f ms\n", (double)(s2 - s1));
}
}