贝塞尔曲线德卡斯特里奥（de Casteljau）算法

这篇文章比较好理解些~

设P₀、P₀²、P₂是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P₀和P₂点的两切线交于P₁点，在P₀²点的切线交P₀P₁和P₂P₁于P₀¹和P₁¹，则如下比例成立：

这是所谓抛物线的三切线定理。

 

当P₀，P₂固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：

t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：

当t从0变到1时，它表示了由三顶点P₀、P₁、P₂三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P₀²可以定义为分别由前两个顶点(P₀,P₁)和后两个顶点(P₁,P₂)决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P₀³可被定义为分别由(P₀,P₁,P₂)和(P₁,P₂,P₃)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点P_i(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P₀ⁿ可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P₀^n-1与P₁^n-1的线性组合：

由此得到Bezier 曲线的递推计算公式

这就是de Casteljau算法；

 

具体可参考下面网址:
http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/Bezier/de-casteljau.html

 

 

（注：下面用 PXX 表示点， 用 LXX 表示线段）

看这个图更清晰一些，首先，P0 和 P5 在曲线上，并且 L01 和 L45 为切线；

然后要做的操作就是：

P10  =  (1-u)*P0  +  u*P1;

P11  =  (1-u)*P1  +  u*P2;

P12  =  (1-u)*P2  +  u*P3;

P13  =  (1-u)*P3  +  u*P4;

 

P20  =  (1-u)*P10  +  u*P11;

P21  =  (1-u)*P11  +  u*P12;

P22  =  (1-u)*P12  +  u*P13;

P23  =  (1-u)*P13  +  u*P14;

 

P30  =  (1-u)*P20  +  u*P21;

P31  =  (1-u)*P21  +  u*P22;

P32  =  (1-u)*P22  +  u*P23;

 

P40  =  (1-u)*P30  +  u*P31;

P41  =  (1-u)*P31  +  u*P32;

 

P50  =  (1-u)*P40  +  u*P41;

 

……

 

写递归算法的话，核心应该是：

         p(i,j) =  (1-u) * p(i-1,j)  +  u * p(i-1,j-1);

 

恩，觉得今天理解的差不多了，代码回头写写试试~~~