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阶梯Nim 与【JZOJ 5500】 营养餐

Description

给定一棵树，每个点有两种信息 ai,bi
有两个人A,B在树上博弈，每次一个人可以且必须选择将一个点的 ai 减少若干，并使整棵树每个节点时刻满足
这里写图片描述 Child(i) 表示 i 的直接儿子集合
无法操作者输
求先手必胜还是必败
n≤5∗104

Analysis

令 num(i)=ai−∑c∈child(i)ac∗bc ，则任意时刻有 ∀i,num(i)≥0
假设一次操作在点 x 处拿走 y ，则影响为 num(x)−=y,num(fa(x))+=y
这样就是一个阶梯Nim的模型了
直接对整棵树做阶梯Nim即可，需要注意的是 bi=0 时 i 点不会影响到 fa(i) ，判断一下就好了

阶梯Nim

定义：每个阶梯上有石子，每次操作可以使上一层阶梯的若干个石子扔到下一层，第一层仍下去相当于消失
结论：忽略偶数层的影响，对奇数层做Nim游戏即可
我们可以构造出一种策略：
假设后手动奇数层，先手也跟着动奇数层，什么事也不会发生（把石子丢进偶数层相当于消失）
如果后手动偶数层并使得 x 个石子掉入奇数层，先手再将那 x 个扔回偶数层。相当于什么事也没发生

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