最大似然估计与最大后验估计

现代机器学习的终极问题都会转化为解目标函数的优化问题，MLE和MAP是生成这个函数的很基本的思想，因此我们对二者的认知是非常重要的。

两大学派的争论

频率学派 - Frequentist - Maximum Likelihood Estimation (MLE，最大似然估计)
贝叶斯学派 - Bayesian - Maximum A Posteriori (MAP，最大后验估计)
在对事物建模时，用 θ 表示模型的参数，请注意，解决问题的本质就是求 θ。那么：

(1) 频率学派：存在唯一真值θ 。举一个简单直观的例子–抛硬币，我们用 P(head) 来表示硬币的bias。抛一枚硬币100次，有20次正面朝上，要估计抛硬币正面朝上的bias P(head)=θ。在频率学派来看，θ = 20 / 100 = 0.2，很直观。当数据量趋于无穷时，这种方法能给出精准的估计；然而缺乏数据时则可能产生严重的偏差。例如，对于一枚均匀硬币，即 θ = 0.5，抛掷5次，出现5次正面 (这种情况出现的概率是1/2^5=3.125%)，频率学派会直接估计这枚硬币θ = 1，出现严重错误。

(2) 贝叶斯学派：θ 是一个随机变量，符合一定的概率分布。在贝叶斯学派里有两大输入和一大输出，输入是先验 (prior)和似然 (likelihood)，输出是后验 (posterior)。先验，即 P(θ) ，指的是在没有观测到任何数据时对 θ 的预先判断，例如给我一个硬币，一种可行的先验是认为这个硬币有很大的概率是均匀的，有较小的概率是是不均匀的；似然，即 P(X|θ) ，是假设θ 已知后我们观察到的数据应该是什么样子的；后验，即 P(θ|X) ，是最终的参数分布。贝叶斯估计的基础是贝叶斯公式，如下：
同样是抛硬币的例子，对一枚均匀硬币抛5次得到5次正面，如果先验认为大概率下这个硬币是均匀的 (例如最大值取在0.5处的Beta分布)，那么 P(head) ，即 P(θ|X) ，是一个distribution，最大值会介于0.5~1之间，而不是武断的 θ = 1。

这里有两点值得注意的地方：
随着数据量的增加，参数分布会越来越向数据靠拢，先验的影响力会越来越小
如果先验是uniform distribution，则贝叶斯方法等价于频率方法。因为直观上来讲，先验是uniform distribution本质上表示对事物没有任何预判

MLE - 最大似然估计

Maximum Likelihood Estimation, MLE是频率学派常用的估计方法！
假设数据 x_1, x_2, …, x_n 是i.i.d.的一组抽样，X = (x_1, x_2, …, x_n) 。其中i.i.d.表示Independent and identical distribution，独立同分布。那么MLE对 \theta 的估计方法可以如下推导：
最后这一行所优化的函数被称为Negative Log Likelihood (NLL)，这个概念和上面的推导是非常重要的！

我们经常在不经意间使用MLE，例如

上文中关于频率学派求硬币概率的例子，其方法其实本质是由优化NLL得出。本文末尾附录中给出了具体的原因
给定一些数据，求对应的高斯分布时，我们经常会算这些数据点的均值和方差然后带入到高斯分布的公式，其理论依据是优化NLL
深度学习做分类任务时所用的cross entropy loss，其本质也是MLE

MAP - 最大后验估计

Maximum A Posteriori, MAP是贝叶斯学派常用的估计方法！

同样的，假设数据 x_1, x_2, …, x_n 是i.i.d.的一组抽样，X = (x_1, x_2, …, x_n) 。那么MAP对 \theta 的估计方法可以如下推导：
其中，第二行到第三行使用了贝叶斯定理，第三行到第四行P(X) 可以丢掉因为与 θ无关。注意 -log P(X|θ) 其实就是NLL，所以MLE和MAP在优化时的不同就是在于先验项 - log P(θ) 。好的，那现在我们来研究一下这个先验项，假定先验是一个高斯分布，即

至此，一件神奇的事情发生了 – 在MAP中使用一个高斯分布的先验等价于在MLE中采用L2的regularizaton！

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