计算机组成原理之（二进制与十进制互相转换，数的定点表示与浮点数表示）例题：设浮点数字长16位，其中阶码5位（含有1位阶符），尾数11位（含有1位数符）

进制的转换

十进制转换二进制：

十进制数13=>二进制

答：
方法一：
13=2³+2²+2⁰=8+4+1
因此二进制数为：1101
方法二：

十进制数128=>二进制
答：
方法一：128=2⁷
所以二进制数为 100000000
方法二

十进制数$\frac{13}{128}$ 转换=>二进制
答：
方法一：
13=13=2³+2²+2⁰=8+4+1
因此二进制数为：1101
128=2⁷所以二进制数为 100000000，所以分子小数点往左移动7位
所以$\frac{13}{128}$=0.0001101

二进制转换十进制：

例如:01101011.转十进制:
第0位:1乘2的0次方=1
1乘2的1次方=2
0乘2的2次方＝0
1乘2的3次方＝8
0乘2的4次方＝0
1乘2的5次方＝32
1乘2的6次方＝64
0乘2的7次方＝0
然后：1＋2＋0
＋8＋0＋32＋64＋0＝107．
二进制01101011＝十进制107

11转换十进制：
第0位:1乘2的0次方=1
第1位:1乘2的1次方=2
二进制11=十进制3

110转换十进制：
110=0 * 2⁰+1 * 2¹+1 * 2²=6

十六进制转换二进制：

首先把十六进制数中的每一位数转换为二进制数,每个数要分四位,不足四位的前面加零
我们看到 FD时，如何迅速将此16进制数转换为二进制数呢？
先转换F：
看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。
接着转换D
看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1，即：1101。
所以，FD转换为二进制数，为：1111 1101

二进制转换十六进制：、

记住8 4 2 1，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的16进制值。
1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 =F
1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14= E
1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13= D
1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 =C
1011 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11= B
1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 =A
1001 = 8 + 0 + 0 + 1 =9 =9
……
0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1= 1
0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0= 0
二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

定点表示

• 纯小数：小数点位于数符和第一数值位之间时，机器内的数为纯小数，表示范围：-（1-2^-n）~(1-2^-n)
• 纯整数：小数点位于数值位之后,表示范围：-（2ⁿ-1）~(2^-n-1)
• 定点机：采用定点数的机器

浮点表示

通常浮点数别表示为：N=S*r^j

• S为尾数（可正可负）

• j为阶码（可正可负）

• r为基数（可以取2,4，8…）

• 计算机规定浮点数尾数用纯小数形式
  例如：

  N=11.0101
  =0.110101 * 2¹⁰
  =1.10101 * 2¹
  =0.00110101 * 2¹⁰⁰

• 所以 0.110101 * 2¹⁰ ; 0.00110101 * 2¹⁰⁰是可以采用的

• 浮点数的规格化形式：
  将尾数最高位为1的浮点数称为规格化数,即
  N= 0.110101 * 2¹⁰为规格化数

• 浮点数最大正数2^(2m-1) * (1-2^-n)

• 浮点数最小正数2^-(2m-1) * 2^-n

• 浮点数最大负数-2^(2m-1) * (1-2^-n)

• 浮点数的上溢：浮点数阶码大于最大阶码，机器停止运算，进行中断溢出处理

• 浮点数的下溢：浮点数阶码小于最小阶码，机器不停止运算，将尾数各位强制为0

浮点数的规格化：

将非规格化传化为规格化数的过程称为规格化

• 左规：尾数左移一位，阶码-1
• 右规：尾数右移一位，阶码+1

浮点数和定点数的比较：

1. 位数相同时，浮点数表示范围大
2. 浮点数为规格化数时，相对精度比定点高

例题一：

设浮点数字长16位，其中阶码5位（含有1位阶符），尾数11位（含有1位数符），将十进制数+$\frac{13}{128}$ 写成二进制定点数和浮点数，并分别写出它在定点机与浮点机中的机器数形式。

答：令 X=+$\frac{13}{128}$

• 二进制形式：x=0.0001101因为尾数为11位，所以后面补0：x=0.0001101000
• 定点数形式：x=0.0001101000
• 浮点数规格化表示： 0.1101000000 x 2^-11

解析： 2^-11中**-11**为二进制数字 ，转换为十进制为：-3 ；-11在机器中表示为1 0011

• 定点机中 【x】原=【x】补=【x】反=0.0001101000
• 浮点机中：

  例题二：

  将十进制数-54表示成二进制定点数和浮点数，并写出它在定点机与浮点机中的机器数形式（其他要求同上例题）
  答：令x = - 54
  • 二进制形式：x=-110110
  • 定点数表示：x=-0000110110
  • 浮点数规格化表示：0.1101100000 x 2¹¹⁰

解析： 2¹¹⁰中110为二进制数字 ，转换为十进制为：6 ；110在机器中表示为0，0110

• 定点机中：

• （因为是负整数，所以符号码为1 ，并且用逗号隔开）
  【x】原=1， 0000110110
  【x】反=1，1111001001
  【x】补=1，1111001010

• 浮点机中：

• （阶码为110，所以在浮点机器表示0，0110）
  【x】原=0.0110；1.1101100000
  【x】反=0.0110；1.0010011111
  【x】补=0.0110；1.0010100000

  例题三：

  写出对应图的所示的浮点数的补码形式，设图中n=10,m=4，阶符 数符各取一位

  • 最大正数：2¹⁵ x (1-2^-10) 补码：0,1111；0.1111111111

  • 最小正数：2^-15 x (2^-10) 补码：1,0001；0.0000000001

    例题四：

设浮点数字长16位，其中阶码5位（含有1位阶符），尾数11位（含有1位数符），将数-$\frac{53}{512}$ 对应的浮点规格化数的原码，补码反码 和阶码 用移码，尾数用补码的形式
答：
53转化为二进制数：110101
512转化为二进制数为：1000000000 ，2⁹
因此x=-$\frac{53}{512}$=- 0.000110101
所以他的浮点规格化数为：(-0.1101010000) x 2^-11

解析： 2^-11中**-11**为二进制数字 ，转换为十进制为：-3 ；-11在机器中表示为1，0011

• 【x】原=1,0011；1.1101010000
• 【x】反=1,1100；1.0010101111
• 【x】补=1,1101；1.0010110000

解析： 同一个真值的移码和补码仅相差一个符号位，将补码的符号位由‘0’改为‘1’，或者由‘1’改为‘0，即可得到真值的移码

• 【x】阶移，尾补=0,1101；1.0010110000