解题报告 (一) Dancing Links X

Dancing Links X 算法详解

一、精确覆盖

1） Easy Finding

  题意：给定一个M×N的01矩阵（其中M <= 16，N <=300），求一个行集合，使得每一列恰好有一个“1”。

  题解：赤裸裸的精确覆盖问题，Dancing Links的模板题，直接按照矩阵构图后上模板。

2） Treasure Map

  题意：给定一些矩形碎片(x1, y1, x2, y2)，范围在[0,30]之间，要求用最少的矩形碎片拼成一个n×m（n，m <= 30）的矩形，如果没法完成，输出-1。

  题解：精确覆盖。将n×m的矩形的每个单位格（1×1的格子）看成是Dancing Links矩阵的列，每个小矩形碎片看成是矩阵的行。首先对每个单位格按照行、列优先进行编号[0, n*m)。DLX矩阵A[i][j]=1当且仅当第j个单位格是第i个矩形片的组成部分。

图2-1

  然后对DLX矩阵求一次精确覆盖即可。由于要求求最小解，每次搜索到一个可行解的时候更新最优解。如果某次搜索层数已经大于最优解，则直接返回（剪枝）。

3） Power Stations

  题意：N个小镇由M条电缆两两相连，每个镇上有1个发电站，当某个发电站开始工作，它将会提供给由电缆直接相连的邻镇，但是由于一些特殊原因，一个镇不能接受多个镇提供的电力供给。并且每个发电站有一个发电的时间区间[L, R]，对于每个发电站，只能选择至多一个[L, R]的子区间的时间段进行发电，问是否存在一种方案，使得接下来的D天内每个镇都有且仅有一个发电站来供给（其中N <= 60， M <= 150, D <= 5）。

图3-1

  对于图3-1这组数据，1号镇选择第一天发电，同时供给给2号镇；2号镇选择第二、三天发电，同时供给给1号镇；3号镇全程三天发电。

  题解：精确覆盖问题。关键是建图的过程，如何把问题转化为Dancing Links的01矩阵是问题的关键。

  我们需要理清01矩阵的行和列的含义，行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。我们取行的子集的过程相当于取出一些互不冲突（即约束条件互相独立）的情况进行组合来满足问题的需求，那么行的子集就是我们需要的答案。

  首先来考虑行，因为行对应了问题的所有情况，所以我们来枚举所有可能的情况，第i个发电站要么一直不发电，要么选择某一个时间段进行发电，一共两种情况：

    1）第i个发电站 选择从第j天发电到k天，根据i，j，k的取值范围，可得最大行数为N*(D+1)*D/2 = 900；

    2）第i个发电站 完全不工作，总共N个。

  所以总的最大行数为N*(D+1)*D/2 + N = 960。那么可以用(i, j, k)代表第i个发电站的工作时间为[j, k]，特殊的，(i, 0, 0)代表第i个全程不工作，靠邻镇供给。

  然后考虑列，列对应了问题的约束条件：

    1）每个镇只能被自己或者1个邻镇发电：列[0, N)代表第1天N个镇的发电与否，列[N, 2N)则代表第2天的，列[(i-1)N,iN)则代表第i天的N个镇的发电情况；

    2）每个发电站只能取自己工作时间的一段子区间进行工作：用第D*N-1+i列代表第i个发电站的工作与否（靠邻镇供给的也算）；

图3-2

  所以总的列数就是(D+1)*N = 360。然后枚举(i, j, k)对这个960×360的01矩阵建图，求一次精确覆盖即可。

4） NQUEEN - Yet Another N-Queen Problem

  题意：给定一个N*N的棋盘，上面放置了一些互不冲突的皇后，求放置剩余的皇后完成N皇后问题（N皇后问题：N*N的棋盘放置N个皇后，使得任意两个皇后不能互相攻击，不同行、不同列、不同对角线）。

  题解：经典精确覆盖问题变形。关键是建图的过程，如何把问题转化为Dancing Links的01矩阵是问题的关键。首先我们考虑没有摆放任何皇后时的解法：

  行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。

  行的取值为棋盘的N*N个位置。

  列代表了四类约束条件：

     1）列[0, N)      代表了棋盘N行的占据情况

     2）列[N, 2N)     代表了棋盘N列的占据情况

     3）列[2N, 4N-1)   代表了棋盘2N-1条主对角线的占据情况

     4）列[4N-1, 6N-2)  代表了棋盘2N-1条副对角线的占据情况

  所以这是个行N*N，列6N-2的01矩阵。

图4-1

  四个约束条件分情况讨论：对于(i, j)的位置，占据的行为i；占据的列为j；主对角线可以通过i和j的相对情况来判断，所有i-j相同的占据的主对角线为N+i-j；副对角线类似，所有i+j相同的位置占据的副对角线为i+j-1；

  枚举所有情况，对每个(i, j)属于[1，N]建立对应的约束条件，就相当于建立了Dancing Links的01矩阵。

  然而，N皇后问题不能直接求精确覆盖，因为我们发现，行和列必须完全覆盖到，但是主和副对角线没有要求一定要全部覆盖，所以我们问题的求解转变成对于这样一个01矩阵，求选出一些行，使得前2N列每列恰有一个“1” （这2N列分别对应行和列的约束条件）。那么也很简单， 只需要修改两个地方：

  1） 在选择“1”元素最少的列的时候只选择[0, 2N)；

  2） 如果[0， 2N)列中都已经没有“1”可以选择了，那么算法终止；

  以上就是求解N皇后问题的全部过程。

图4-2

  接下来再来看已经占据了一些格子之后，继续放置剩余棋子的N皇后问题。

  之前已经讨论了每个格子对应了矩阵的一行，那么某个格子已经放置了棋子，相当于在全局可行解中必须选这些格子对应的行，那么问题就简单了，直接模拟将这些放置了棋子的格子对应的行利用Dancing Links X算法进行删除即可，并且这部分删除是不需要的回溯的，因为它们必选。然后X算法对剩余01矩阵进行求解即可。

5） Lamp

  题意：给定N(N<= 500)个灯和M(M <= 500)个开关，灯是否亮起可以由任意某个开关的“开”或“关”来控制。给出M个开关的开关方案，使得所有灯都亮起。

  例如，1号灯亮的条件是1号开关“开”或2号开关“开”，2号灯亮的条件是1号开关“关”。那么开关选择序列可以考虑1号“关”、2号“开”。

  题解：经典精确覆盖问题变形。N皇后的简化版。还是那句话：行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。那么问题的所有情况，即所有开关的“开”和“关”的状态数，情况总数为2*M。即01矩阵的每行代表每个开关的“开”或“关”。

  问题的约束条件有两个，其中第二个是隐含条件：

    1) 所有灯都亮起；

    2) 每种开关只能调一种状态；

  所有01矩阵的前N列代表在这个开关的状态下，对应的灯是否亮起（“1”代表亮，“0”代表不亮）；后M列代表使用了对应的开关，也就是第i个开关代表的两行对应的列的值为“1”。

  所以总的矩阵规模为 2*M行，（N+M）列的01矩阵，对前N列求一次精确覆盖即可。最后输出方案的时候，如果代表开关状态的两行都没有选中，说明任何一种状态都不会影响最后的结果，任意输出其中一种状态即可。

图5-1

6） Dominoes

  题意：给出以下12块骨牌，每个骨牌只能用一次，但是可以旋转或者翻转，要求铺满一个M×N的棋盘，保证M×N = 60。求方案数。

图6-1

  例如，3×20的棋盘的其中一种方案如下：

图6-2

  题解：精确覆盖问题。行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。

  那么行代表了每个形状的骨牌经过翻转/旋转后的在原棋盘上每格的放置方案。这里需要注意翻转和旋转后骨牌最多有8（2×4）种情况，但是如果一旦翻转或旋转得到的结果一样的话只能算一种，所以这里可以采用二进制哈希标记每种旋转/翻转状态。

  列分为两类：

    1) 每个格子是否被占据；总共60个格子，即60列；

    2) 当前骨牌放置方案用的是哪类骨牌，总共12列；

图6-3

  因为要统计所有情况，而不是找到一个解就退出搜索，所以计算过程可能会比较慢，但是输入数据只有几种，可以算出所有情况后打表。

7） 数独系列（精确覆盖）

基础题

  Sudoku Killer http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1426 

  Su-Su-Sudoku http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2780

  Sudoku http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3111

  Sudoku http://poj.org/problem?id=2676

  Sudoku http://poj.org/problem?id=3074

  Sudoku http://poj.org/problem?id=3076

进阶题

  Sudoku http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5547 N=2的数独，深搜枚举也能过

  Sudoku http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3476 N=2的数独，枚举所有情况打表

  Sudoku http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3909 最全的经典数独题 N = 2,3,4

  Squiggly Sudoku http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4069 数独变形 + DFS找连通块

  题意：对于一个N阶的数独，由N^2×N^2个格子组成，如图7-1为一个3阶的数独。要求满足四个限制条件：

    1) 每个格子只能填1个数；

    2) 每行的数字集合为[1, N^2]，且不能重复；

    3) 每列的数字集合为[1, N^2]，且不能重复；

    4) 每个“宫”的数字集合为[1, N^2]，且不能重复；

图7-1

  其中“宫”的意思就是N×N的格子。对于N=3的情况，就是“九宫格”。现在问题是给定一个已经填了一些数字的数独，求当N=3时的一种解,满足以上四个限制条件。

  题解：转变为精确覆盖问题。行代表问题的所有情况，列代表问题的约束条件。

  每个格子能够填的数字为[1, 9]，并且总共有3^2×3^2个格子，所以总的情况数为729种。也就是Dancing Links的行为729行。

  列则分为四种：

  1) [0,81)列       分别对应了81个格子是否被放置了数字。

  2) [82,2*81)列     分别对应了9行，每行[1, 9]个数字的放置情况；

  3) [2*81,3*81)列    分别对应了9列，每列[1, 9]个数字的放置情况；

  4) [3*81,4*81)列    分别对应了9个“宫”，每“宫”[1, 9]个数字的放置情况；

  所以总的列数为4*81=324列。

图7-2

  举个例子，对于在数独棋盘的i行j列的格子(i, j)上放置一个数字k，那么对应的Dancing Links的01矩阵行，一行上有四个“1”，分别对应四种约束条件：

  1) 格子限制：行号*9+列号

  2) 行不重复限制：81 + 行号*9 + (k-1)

  3) 列不重复限制：2*81 + 列号*9 + (k-1)

  4) “宫”不重复限制：3*81 + 宫号*9 + (k-1)

  行号是i，列号是j，比较好理解；那么宫号我们定义如下图：

图7-3

  宫号的计算方式可以通过行号和列号得出。即 宫号 = (i/3)*3 + (j/3)；

  那么构建01矩阵的时候，我们从上到下，从左到右遍历数独，对于在(i, j)上有数字k的只需要插入一行，这行上有四列为“1”。对于没有填写数字的需要枚举[1, 9]，把在(i, j)位置上填[1, 9]的情况都进行插入，一共9行。

  矩阵构建完毕，求一次精确覆盖即可。

二、重复覆盖

8） whosyourdaddy

  题意：给定一个N(N<= 50)个结点M条边的无向图，结点i选的话，所有和i相连的点都能被选中，求找出一个最少的点集合，使得所有点都能被选中。

  题解：经典重复覆盖问题。利用IDA* + Dancing Links 求解。

  重复覆盖的问题描述为：对于一个01矩阵，选出最少的行集合满足每列上至少一个“1”。

  建立Dancing Links矩阵matrix[i][j] = 1当且仅当i和j相连或i=j。重复覆盖和精确覆盖稍微有点区别，即每次删除一列的时候，不能将这列上为“1”的行删除（这个是显然的，因为是重复覆盖，所以取出的行集合的一列上允许有多个“1”）。

  具体步骤如下：

    枚举递归最大深度maxDepth = [0, n)

      利用DLX求解，如果有解 or 递归深度depth超过maxDepth则返回；

  DLX求解时，每次找结点数最少的列mc，枚举mc的每一行被选中的情况。令本次选中的行为r，将r加入部分解，并将行r上有“1”的列全部删除。然后递归求解子矩阵。

  这里需要注意的是，在删除列的时候其实只是将对应列的列首结点从链表中删除，所以在枚举行r上有“1”的列时，会枚举到已经删除的列，所以需要记录一个标记col_covered[i] 来记录第i列被删除了几次，这个是很重要的，因为在回溯的时候需要进行相应的恢复，也就是说删除列的算法需要这么写：

  DoDeleteColumni

    If(col_covered[i] is ZERO)

        DeleteColumn i

    ++ col_covered[i]

  那么在相应的回溯矩阵时，对删除的列进行恢复时，也要按照相反顺序恢复，即：

  DoResumeColumni

    -- col_covered[i]

    If(col_covered[i] is ZERO)

        Delete Column i

  这样才能保证列删除的正确性。这里的概念等同于引用计数，即一列并不是“被删除”和“未被删除”两种状态，而是有“被删除0次”、“被删除1次”、“被删除2次”、“被删除N次”多种状态组成。

  最后，由于重复覆盖的矩阵下降程度远远小于精确覆盖，会导致搜索空间树呈指数级增长的速度远远大于精确覆盖的情况，所以需要剪枝。这里介绍一种启发性函数（估价函数），也就是迭代加深（IDA*）里面的那个A*。

  考虑到当前枚举深度为depth，最大枚举深度maxDepth，也就是当前搜索条件下只能最多再选择maxDepth – depth行。那么如果我们可以设计一个估价函数H()。函数返回的是剩余列删除需要选择最少的行个数。如果H() >maxDepth – depth，代表当前搜索条件下已经不可能搜到可行解了，可以直接返回，此所谓“剪枝”。

  H()函数的计算原理：模拟每一列的删除，估算需要选择的行数。由于总的列数小于64，所以我们可以将每一行压缩成一个64位的整数,R[i]表示第i行的那个64位整数。用一个全局标记X记录剩下列的模拟删除情况（X的二进制第i位为“1”代表第i列已经被模拟删除）然后枚举剩下的列，如果这列没有被模拟删除，那么将它列上有“1”的行全部模拟选中，计数器cnt+1，行i模拟选中的意思就是将X = X or R[i]；循环遍历每一列，最后cnt就是返回值。

  通过这种方法计算出来的为估计代价，一定是小于等于实际代价的。

  最后，IDA*的maxDepth就是问题的解。

9） Radar

  题意：N个城市和M个雷达，每个雷达的范围为R，雷达和城市之间的距离为欧几里得距离，当距离小于等于R时能被覆盖到，求一个最小的距离R，使得所有的城市都能被覆盖到（N,M <= 50）。

  题解：二分 + 重复覆盖。利用IDA* + Dancing Links 求解。

  因为距离R满足单调性，即当R越大，城市被雷达覆盖的概率越大，所以可以采用二分。首先二分答案R，建立雷达和城市之间的覆盖关系图，然后利用IDA* + Dancing Links，如果能够求出一个重复覆盖，则减小R的值，反之，增大R。

  注意枚举R的时候可以用整型，判断距离的时候采用平方，减小误差。

10） Bomberman - Just Search!

  题意：给定一个N*M(N,M<=15)的图，其中'#'代表可以被炸弹炸裂的墙；‘.’代表可以放置炸弹的地方；‘*’代表不能被炸弹炸裂的墙；求放置最少的炸弹，将所有的‘#’炸裂。

  题解：重复覆盖。

  建图。给每个‘.’编号（r1, r2, … rn），给每个‘#’编号(c1, c2, … cm)。那么可以建立一个n×m的矩阵A，A[i][j] = 1代表 ri这个位置放置的炸弹可以炸到cj，枚举构建这个矩阵，然后求一次重复覆盖即可。

11） Repair Depots

  题意：给定n(n<= 16)个机器人的位置，求建立c(1 <= c <= n)个修理厂，每个机器人选择最近的修理厂进行修理，机器人i和最近的那个修理厂的距离为d[i]，现在要求max{d[i] | 1<=i<=n}最小，求这个最小值。

  题解：Radar的加强版，难点在于修理厂的位置没有给出，我们需要模拟放置修理厂。修理厂可以放在三种位置上：

1、任意一个机器人的位置上

2、任意两个机器人的中心

3、任意三个机器人的外心（三角形外切圆圆心）

  这样总的修理厂的可行个数是n + n*(n-1)/2 + n*(n-1)*(n-2)/6，也就是对应了Dancing Links矩阵的行，列就是n。

  然后二分距离R，继续小于等于R的修理厂和机器人之间连边。

  这里有一个很明显的优化，就是“子集剔除”。当某个修理厂的位置能够覆盖到1、3、6号机器人时，某些只能覆盖到这个机器人集合的子集的修理厂可以不需要。这个很好理解，因为是重复覆盖，一个01矩阵的任意两行，如果行A完全包含行B，那么行B一定不会比行A更优，行B可以直接剔除。

  “子集剔除”可以利用dfs+ hash从大到小枚举在O(2^n)的时间内完成。

12） Fire station

  题意：给定n(n<= 50)个房子，需要在这些房子上建造m(1 <= m <= n)个消防站，第i个房子到最近的消防站的距离为d[i]，现在要求max{d[i] | 1<=i<=n}最小，求这个最小值。

  题解：Radar的数据加强版。二分距离 + 重复覆盖。

  这里需要做一个“子集剔除”，否则会超时。由于矩阵的行数只有50，所以可以直接O(n^2)的枚举行i是否包含于行j，如果某一行被另一行包含，那么这行可以剔除。

  由于列数也是50，所以每一行的状态可以压缩成一个INT64的整型。即第i的行状态可以用state[i]表示。那么第i行被第j行包含的判断条件为：state[i] != state[j] 并且 (state[i] & state[j]) == state[i]。

  而且由于精度问题，二分距离的时候需要精确到1e-8。

 

13） Street Fighter

  题意：N（N <= 25）个角色有M（M <= 2）种不同形态,给定每种形态下能够打败的其它角色相应形态的列表。求一个最小的角色列表，使得这个列表里面的角色能够打败列表以外的其它角色。

  题解：精确覆盖 + 重复覆盖。构建DancingLinks矩阵A时，2N行代表N个角色的M种形态，2N列代表被打败的角色信息。

  如果R1(0 <= R1

    A[R1*2 + M1][R2*2 + M2] = 1;

  题目要求选择一个角色时只能选取其中的一种形态，也就是说如果0号形态用了，那么1号形态就不能用了。这个对应了精确覆盖，所以在DLX矩阵的最后N列还要给出每个形态对应的角色。

  这里还有一个隐含条件：就是任何角色的任何形态一定能够打败自己的任何形态。这样就可以开始求解了，前2N列求重复覆盖，后N列求精确覆盖。

 

14） 神龙的难题

  题意：给定一个N×M的01矩阵，(N, M<= 15)，再给定X×Y的框，要求用X×Y的框去覆盖这个01矩阵，使得所有的1都能被覆盖住，求满足条件的最少的框个数。

  题解：重复覆盖。01矩阵中的每个1代表DLX矩阵中的一列，X×Y的框的所有放置情况代表DLX矩阵中的行，建立DLX关系矩阵求重复覆盖即可。

  注意，这里的列数可能超过64，所以进行行状态hash的时候每行不能用一个INT64来表示，而是要用一个INT64的数组来表示状态。

15） Square Destroyer

  题意：给定如图所示n*n(n <=5)的正方形，由2n(n+1)根火柴组成，求去掉最少的火柴使得所有的正方形都不存在。

图15-1

  题解：经典重复覆盖问题。模拟计算每根火柴能够销毁那些正方形。火柴对应Dancing Links 矩阵的行，正方形对应矩阵的列， A[i][j] = 1当且仅当第i根火柴是第j个正方形的组成部分（也可以理解成第i根火柴拿掉，第j个正方形就摧毁了）。建好图后求一次重复覆盖即可。

16） Airport

  题意：Radar的变形。唯一的不同是把距离的计算方式从欧几里得距离变成了曼哈顿距离。二分距离，建图后计算重复覆盖即可。

17） A simple math problem.

  题意：一个买彩票的问题。N个数字选M个，如果中了R个数就算中二等奖，问至少要买多少张彩票才能使得至少中一次二等奖（1<=R<=N<=M<=8）。

  题解：C[N][M]为总共N个数选M个的情况数，C[N][R]为N个数选R个的情况数。那么建立DLX矩阵，矩阵的行代表选择数字的所有情况，矩阵的列代表所有中奖的情况，那么行数为C[N][M]，列数为C[N][R]。

  如图17-1，代表N=4，M=3，R=2的情况，每一行代表了彩票的购买情况（为了加以区分，四种情况分别采用四种颜色表示）。在每种情况下，能够中奖的情况用彩色格子进行标记。那么问题转化成了重复覆盖问题。

  N=8，M=5，R=3的情况，搜索空间巨大，DancingLinks搜索半天出不来，最后只能采用流氓法打表了。

图17-1