python科学计算之scipy——optimize

写在前面

SciPy的optimize模块提供了许多数值优化算法，下面对其中的一些记录。

非线性方程组求解

SciPy中对非线性方程组求解是fslove()函数，它的调用形式一般为fslove(fun, x0)，fun是计算非线性方程组的误差函数，它需要一个参数x，fun依靠x来计算线性方程组的每个方程的值（或者叫误差），x0是x的一个初始值。

"""
计算非线性方程组：
    5x1+3 = 0
    4x0^2-2sin(x1x2)=0
    x1x2-1.5=0
"""
## 误差函数
def fun(x):
    x0,x1,x2 = x.tolist()
    return[5*x1+3,4x0^2-2sin(x1x2),x1x2-1.5]

result = optimize.fsolve(fun,[1,1,1])
## result
[-0.70622057    -0.6    -2.5]

在计算非线性方程中的解时，比如像坐标上升算法，其中需要用到未知数的导数，同样，scipy的fslove()也提供了fprime参数传递未知数的雅各比矩阵从而加速计算，传递的雅各比矩阵每一行时某一方程对各个未知数的导数。对于上面的例子，我们可以写下如下的雅各比矩阵传入。

def j(x):
    x0,x1,x2 = x.tolist()
    return[[0,5,0],[8*x0,-2*x2*cos(x1*x2],[0,x2,x1]]

result = optimize.fsolve(fun,[1,1,1],fprime=j)
#result
[-0.70622057    -0.6    -2.5]

scipy的内部在实现fslove时应该时应该是利用了坐标上升算法或者梯度相关优化算法，但本人没有考证，有兴趣的可以看看源码。

最小二乘拟合

关于最小二乘算法的理论这里并不想谈，网上解释的文章也挺多，在 optimize模块中，可以使用leastsq()对数据进行最小二乘拟合计算。 leastsq()的用法很简单，只需要将计箅误差的函数和待确定参数的初始值传递给它即可。

x = np.array([8.19,2.72,6.39,8.71,4.7,2.66,3.78])
y = np.array([7.01,2.78,6.47,6.71,4.1,4.23,4.05])
def residual(p):
    k,b = p
    return y-(k*x+b)
r = optimize.leastsq(residual,[1,0])
k,b = r[0]
# print k
0.613495349193
# print b
1.79409254326

def func(x,p):
    """
        计算的正弦波 ：A*sin(2*pi*k*x+theta)
    """
    A,k,theta = p
    return A*sin(2*np.pi*k*x+theta)

def redis(p,y,x):
    return y-func(x,p)

x = np.linspace(0,2*np.pi,100)
A,k,theta = 10,0.34,np.pi/6
y0 = func(x,[A,k,theta])
# 加入噪声
np.random.seed(0)
y1 = y0+2*np.random.randn(len(x))
p0 = [7,0.40,0]
# p0是A,k,theta的初始值，y1，x要拟合的数据
plsq = optimize.leastsq(redis, p0,args=(y1,x))
print [A,k,theta]  #真是的参数值
print plsq[0]    #拟合后的参数值

对于像正弦波或者余弦波的曲线拟合，optimize提供curve_fit()函数，它的使用方式和leastq()稍有不同，它直接计算曲线的值，比如上面的拟合正弦波可以用cureve_fit()来写。

def func2(x,p):
    """
        计算的正弦波 ：A*sin(2*pi*k*x+theta)
    """
    A,k,theta = p
    return A*sin(2*np.pi*k*x+theta)
ret,_=optimize.curve_fit(func2,x,y1,p0=p0)

该函数有一个缺点就是对于初始值敏感，如果初始频率和真实频率值差太多，会导致最后无法收敛到真是频率。

局部最小值

optimize模块还提供了常用的最小值算法如：Nelder-Mead、Powell、CG、BFGS、Newton-CG等，在这些最小值计算时，往往会传入一阶导数矩阵(雅各比矩阵)或者二阶导数矩阵(黑塞矩阵)从而加速收敛，这些最优化算法往往不能保证收敛到全局最小值，大部分会收敛到局部极小值。这些函数的调用方式为:

optimize.minimize(target_fun,init_val,method,jac,hess)
target_fun：函数的表达式计算；
init_val：初始值；
method：最小化的算法；
jac：雅各比矩阵
hess：黑塞矩阵。

全局最小值算法

全局最小值使用optimize.basinhopping()来实现，这个函数首先要定义一个误差计算方式，比如平方误差函数，niter时迭代的次数，最后还需要一个局部极小值优化方法，minimizer_kwargs传入。比如上面的正弦函数拟合：

def func1(x,p):
    """
        计算的正弦波 ：A*sin(2*pi*k*x+theta)
    """
    A,k,theta = p
    return A*sin(2*np.pi*k*x+theta)
def func_error(p,y,x):
    return np.sum((y-func1(x,p)**2)
result = optimize.basinhopping(func_error,[1,1,1],niter=10,
                            minimizer_kwargs={"method":"L-BFGS-B",
                                                "args":(y1,x1)})
## [1,1,1]是传入的初始值，args是需要拟合的数据