论高通滤波器，带阻滤波器，陷波滤波器

1.高通滤波器

       首先，对一副图像进行如下二维傅里叶变换。

我们将u=0和v=0带上式，我们可以得到如下式子。

根据上式，可以到F(0,0)的值是非常大的。这里，我们将  F(0,0)称为直流分量，直流分量比其他的成分要大好几个数量级。所以，这也就是傅里叶谱为什么需要使用对数变换才能看清楚的原因。

       这里，对于高通滤波器而言，由于直流分量被衰减，所以，所得到的图像的动态范围是非常狭窄的，也就造成了图像偏灰。进一步而言，保持直流（DC）分量，对别的部分进行增幅，可以增强图像的细节。这样的滤波器称为锐化滤波器。这一小节主要介绍高通滤波器与锐化滤波器。

        1.1理想高通滤波器

        

        这里的D0是滤波器的阻带半径，而D(u,v)是点到滤波器中央的距离。理想高通的滤波器的振幅特性如下所示。

用这个滤波器对图像进行处理，可得到如下所示的结果。我们可以看到，与理想的低通滤波器一样，所得到的图像有很明显的振铃现象。结果图像从视觉上来看，有些偏暗，这是因为图像的直流分量被滤掉的原因。

       1.2巴特沃斯高通滤波器

       同样的，巴特沃斯高通滤波器也可以通过改变次数n，对过度特性进行调整。过大的n会造成振铃现象。

       1.3高斯高通滤波器

       高斯滤波器的过度特性很好，所以不会发生振铃现象。

       1.4 上述三种滤波器的实现Matlab代码

 

       1.5 锐化滤波器

       按照之前所说的，锐化滤波器是将傅里叶谱的直流分量保留，然后将其余的成分增幅。使用锐化滤波器，可以对图像的细节进行增强，使得细节凸显出来。锐化滤波器的表达式如下所示。

      其实上式的目的很明显，就是先将原图的傅里叶  谱保留下来，然后叠加上高通滤波器的结果，所得到的图像就是锐化后的图像了。这里为了调整锐化程度，引入了两个变量与。可以调整直流分量的衰减程度，可以调整高频分量的增幅程度。

 

       下面是代码。

 

       2.带阻滤波器

       同样的，带阻滤波器也有三种特性。高斯、巴特沃斯和理想，三种类型，其数学表达式如下所示。

       其带通滤波器可以使用上面的表格转化而得。

       带阻滤波器可以用于去除周期性噪声，为了体现带阻滤波器的特性，我们先对一幅图像增加很严重的噪声。

 

 

       在原图的傅里叶谱上添加了几个很明显的亮点。在对其做IDFT，可以看到，原图被严重的周期噪声污染了。此时，我们可以使用带阻滤波器，可以有很好的去噪效果。为了避免振铃现象，选择使用如下所示巴特沃斯带阻滤波器，所用滤波器的次数为2次。使用空间域的操作，要去除这种噪声基本是不可能的，这也是频域内的操作的优点。

  

 

       3.陷波滤波器(Notch Filter)

       陷波滤波器也用于去除周期噪声，虽然带阻滤波器也能可以去除周期噪声，但是带阻滤波器对噪声以外的成分也有衰减。而陷波滤波器主要对，某个点进行衰减，对其余的成分不损失。使用下图将更容易理解。

       从空间域内看，图像存在着周期性噪声。其傅里叶频谱中，也能看到噪声的所在之处(这里我用红圈标注出来了，他们不是数据的一部分)。我们如果使用带阻滤波器的话，是非常麻烦的，也会使得图像有损失。陷波滤波器，能够直接对噪声处进行衰减，可以有很好的去噪效果。

       其表达式如下所示，陷波滤波器可以通过对高通滤波器的中心，进行位移就可以得到了。

这里，由于傅里叶的周期性，傅里叶频谱上不可能单独存在一个点的噪声，必定是关于远点对称的一个噪声对。这里的与需要去除的噪声点，其求取的方式如下所示。

       针对于上图，我们设计如下滤波器，去进行去噪。

（图片下标错了，后续更新改过来！）

       所得到的结果，如下所示。噪声已经被去除了，画质得到了很大的改善。