算法分析——单源最短路径问题

1、问题描述

给定图G（V，E），求一条从起点到终点的路径，使得这条路径上经过的所有边的边权之和最小

2、Dijkstra算法
      迪杰斯特拉算法用来解决单源最短路问题，即给定图G和起点V，通过算法得到V到达其它顶点的最短距离。
      其基本思想是：设置顶点集合S，并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
      初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
      Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist做必要的修改。
      一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。
      Dijkstra算法的伪代码：

// n为顶点数，v为源点，数组c为源点到达各个顶点的最短路径
void Dijkstra(int n, int v, int c[][N]) {
     
	初始化
	for(n-1次循环) {
     
		for(n次循环) {
     
			取出最短路径的顶点
		}
		for(n次循环) {
     
			更新Dist值
		}
	}
}

3、代码实现

void Dijkstra(int n, int v, int c[][N])  
{
       
    bool s[N];	
    int dist[N] = {
     0},prev[N] = {
     0};
	int i, j;
	// 初始化邻接矩阵
    for(i=1; i<=n; i++) {
       
        dist[i] = c[v][i];//dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度  
        s[i] = false;  
        if(dist[i] == M)  prev[i] = 0;//记录从源到顶点i的最短路径i的前一个顶点  
        else  prev[i] = v;  
    }  

    dist[v] = 0;  
    s[v] = true;    
    for(i=1; i<n; i++) {
      // n-1次循环做贪心选择 
        int temp = M;  
        int u = v;//上一顶点  
        //取出V-S中具有最短特殊路径长度的顶点u  
        for(j=1; j<=n; j++) {
       
        	// 当前状态做一次贪心选择
            if((!s[j]) && (dist[j]<temp)) {
       // 打擂台，取出最小值
                u = j;  
                temp = dist[j];  
            }  
        }  
        s[u] = true;  
        //根据作出的贪心选择更新Dist值  
        for(j=1; j<=n; j++) {
       
            if((!s[j]) && (c[u][j]<M)) {
       
                int newdist = dist[u] + c[u][j];  
                if(newdist < dist[j]) {
       // 如果该路径更短
                    dist[j] = newdist;  // 更新路径
                    prev[j] = u;  // 记录前一个顶点
                }  
            }  
        }  
    }  
}  

4、结果截图

参考文献
[1] 王晓东. 计算机算法设计与分析[M].5版. 北京：电子工业出版社，2018.
[2] 胡凡，曾磊. 算法笔记[M]. 北京：机械工业出版社，2019.