数学模板-欧拉函数

欧拉函数 ϕ(x)

ϕ(x) 表示不超过正整数x的数中与x互质的数的个数。
引理1
1.如果p为素数 ϕ(p)=p−1
2.如果n为素数p的x次方 ϕ(n)=ϕ(pa)=(p−1)∗pa−1
2.如果n=i*p,p为素数,且i%p==0 ϕ(n)=p∗ϕ(i)
2.如果n=i*p,p为素数,且i%p!=0 ϕ(n)=(p−1)∗ϕ(i)
3.如果n为素数a与素数b的乘积 ϕ(n)=ϕ(a∗b)=ϕ(a)∗ϕ(b)
引理2
n拆分乘 pa11∗pa21∗pa31∗pa41∗.....∗pakk 的素数幂乘积的表达式
ϕ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗(1−1p3)∗......∗(1−1pk)
线性筛欧拉
因为上面的引理1，我们可以在筛素数的同时筛出欧拉。

#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
bool su[MAXN];
int sn[MAXN],num,n,t;
int phi[MAXN];
void Get_phi()
{
    su[0]=1;su[1]=1;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!su[i]) sn[++num]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;sn[j]*i<=MAXN&&j<=num;j++)
        {
            su[i*sn[j]]=1;
            if(!(i%sn[j]))
            { 
                phi[i*sn[j]]=phi[i]*sn[j];
                break;
            }
            phi[i*sn[j]]=phi[i]*(sn[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
  Get_phi();
  return 0;
}

O(sqrt(n))求n的欧拉

int getphi(int n)
{
    int ret=n;
    for(int i=2;i*i<=n;++i)
    {
        if(n%i) continue;
        ret=ret/i*(i-1);
        while(n%i==0) n/=i;
    }
    if(n!=1) ret=ret/n*(n-1);
    return ret;
}

欧拉定理
如果a与m互质，则 aϕ(m)≡1(modb)

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