Computer Vision: Algorithms and Applications（学习笔记二）--geometric primitives

基本的几何基元包括：2D点、2D直线、3D点、3D平面和3D直线

2D几何基元

2D点：图像上的坐标点可以用一对数值表示，或者：

也可以用齐次坐标表示，即用高一维的坐标表示，可以将齐次矢量转换为非齐次矢量，这一过程叫做正常化处理。其中叫做增广矢量。

为什么需要进行齐次变换呢？举个例子，当我们需要对坐标点进行仿射变换时，有平移、旋转、缩放的变换，其中平移是矩阵相加，而旋转是矩阵相乘，公式如下：

则需要对点坐标先乘一个矩阵，再加一个矩阵，但是当我们进行其次变换后，可以改写公式为：

故可以有效的简化矩阵计算，对于点和矢量，都具有旋转、缩放的性质，而矢量不同与点，矢量不具有平移的计算，故为了区分矢量和点的齐次变换，对于点坐标，变换为，而对于矢量，变换为。

2D直线：2D直线也可用齐次坐标表达，对应直线方程为：

将直线方程规范化处理，得到，其中，则 为垂直于直线的法向量，为直线到原点距离。

也可将表示为旋转角度的函数，即 ，这种表达式可用于霍夫变换检测直线的算法，称为极坐标。

使用齐次坐标时，计算两直线的交点：

其中×为叉积符号，连接两点的直线为：

3D几何基元

3D点：即三维点坐标，齐次坐标可写为。

3D平面：2D直线也可用齐次坐标表达，对应平面方程为：

将平面方程规范化处理，得到，其中，则 为垂直于平面的法向量，为直线到原点距离。

也可将表示为旋转角度与的函数，即，即使用球面坐标，但是并不像极坐标那样常用，因为无法再可能的向量空间均匀分布（当随机时， 在极坐标上均匀分布，而当与随机时， 在球面坐标上无法均匀分布）。

3D直线：3D直线的一种表示方法就是用两个点坐标的线性组合 。

如果将3D直线看作3D点在三维矢量方向的延长线，可写作：

但是2个3D点或者1个3D点+1个三维矢量，这两种表示方法变量均为6个，而真正的3D直线的自由度为4。为了得到自由度为4的3D直线表示方法，可对于不平行于平面的直线，用直线于平面和平面的交点和表示，则自由度为4，这种两平面参数化在光场和照度图中用到。

几何基元自由度

确定一个系统在空间中的位置所需要的最小坐标数。例如火车车厢沿铁轨的运动，只需从某一起点站沿铁轨量出路程，就可完全确定车厢所在的位置，即其位置用一个量就可确定，我们说火车车厢的运动有一个自由度；汽车能在地面上到处运动，自由程度比火车大些，需要用两个量才能确定其位置，我们说汽车的运动有两个自由度；飞机能在空中完全自由地运动，需要用三个量才能确定其位置，我们说飞机在空中的运动有三个自由度。所谓自由度数就是确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目。

一般情况下，齐次坐标为几何基元的自由度坐标加1：

• 对于2D点，由x坐标与y坐标唯一确定，自由度为2，齐次坐标项为3；
• 对于2D直线，由直线斜率与直线距离原点距离唯一确定，自由度为2，齐次坐标项为3；
• 对于3D点，由x坐标、y坐标和z坐标唯一确定，自由度为3，齐次坐标项为4；
• 对于3D平面，由平面交原点的法向量唯一确定，则自由度与3D法向量点相同，自由度为3，齐次坐标项为4；
• 对于3D直线，前文讨论过，自由度为4，齐次坐标项为5；
• 对于N维空间直线，直线自由度为2N-2，线段为2N。