2016XTU算法专题个人赛4 题解

2016XTU算法专题个人赛4 题解

A. HDU 3664 Permutation Counting

题意： 给你一个{1, 2, …, N} 的排列 a1,a2,…aN ，我们定义这个排列的E值为其中 ai>i 的元素的数量。请你找出{1, 2, …, N} 有多少个E值为k的排列(对1,000,000,007.取模)。
解法： dp[i][j] 表示 前i个数组成的排列中E值为j的排列的个数。考虑从一个{1, 2, …, n - 1} 的排列向{1, 2, …, n}的排列的状态转移。考虑新增的数字i的位置：

• 可以放在第n个位置，这样不改变原排列的E值，即 dp[i][j] 包含 dp[i−1][j] 的情况；
• 还可以放在位置 x(1<x<n) 的位置，将原来位置x上的数字换到第n个位置上。这时考虑 ax 与 x 的关系：
  
  • ax>x ，被换到位置n则E值-1，n放入x位置则E值+1，故E值不变。对于 dp[i−1][j] ，这样的x有j个，则 dp[i][j] 还包含 dp[i−1][j]∗j 个情况；
  • ax≤x ，被换到位置n则E值不变，n放入x位置则E值+1，故E值+1。对于对于 dp[i−1][j] ，这样的x有 (i−1)−(j−1)=i−j 个，则 dp[i][j] 还包含 dp[i−1][j−1]∗(i−j) 个情况。

综上

dp[i][j]={dp[i−1][j]dp[i−1][j]∗(j+1)+dp[i−1][j−1]∗(i−j)(j=0)(0<j≤i)

参考代码链接

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B. HDU 5532 Almost Sorted Array

题意： 给一个数组，判断是否可以在删除一个元素之后，剩下的数组元素有序。
解法：
用 NlogN 的算法求原数组的最长非增子序列和最长非减子序列，有结果大于等于原数组长度-1，则符合题意。（参考 NlogN 的最长上升子序列解法）

参考代码链接

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C. HDU 5763 Another Meaning

题意： 类似于：只由小写字母构成的字符串A中的子串B可以被替换成*，问A可以生成多少个字符串。

解法： 对于每一个A的子串，如果其等于B，则有换成*和不换成*两种情况。设 dp[i] 为Ａ串前i个字母组成的字符串可以替换生成的字符串数量，m为字符串B的长度。如果A从第(i-m+1)到第m个字母组成的子串与B相等，若将其替换，则生成的字符串数量等于A的前i-m个字母组成的字符串生成的数量；若不替换，则等于前i-1的串生成的数量，即 dp[i]=dp[i−m]+dp[i−1] 。由于数据比较水，字符串匹配时strncmp之类方法就能解决，正解应该是用kmp或者hash判断。

综上

dp[i]={dp[i−1]+dp[i−m]dp[i−1](A.substr(i−­|B|+1,|B|)=B)(other)

参考代码链接

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D. HDU 3339 In Action

题意： 要破坏掉一个电网， 有n个电站编号为1～n，每个电站有它自己的能量值。有一个军事基地编号为0，里面有无限个坦克，可以开到某个电站轰炸破坏掉电站，并且一个坦克只能破坏一个。现在要破坏掉其中一些电站，要让电网的总能量值损失一半以上， 并且要让所有执行任务的坦克去目的地路费最少。
解法：

1. 容易想到用单源最短路算法求出0到所有其他点的最短距离。
2. 关键是要选择破坏哪些电站，使得这些破坏的电站总能量值为原来的一半以上。
   因为对于每一个电站，要么是选择破坏，要么是不破坏，那么便可以联想到经典的01背包问题。
   把求得的最短距离总和当作背包容量， 各个站的能量值当作物品价值，然后OK。

以上题解来源

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E. HDU 1712 ACboy needs your help

题意： 有N门课，花费M天。不同课程的收益取决于在它上花费的时间。怎样为N门课程安排M天让总收益最大化？
解法： lxdd说太水了不用写题解了……分组背包模板题，下图摘自背包九讲。

参考代码链接（写得有点搓，还是按上图写吧）