山顶洞人学机器学习之——中心极限定理（通俗理解版）

机器学习是实现人工智能的重要技术之一。在学习机器学习的过程中，必须要掌握一些基础的数学与统计知识。中心极限定理（CLT）是数理统计中最重要的定理之一，具有广泛的应用场景。准确理解中心极限定理背后深层次的含义，有助于打牢机器学习的基础。本篇文章将用最通俗的语言来揭示中心极限定理，并结合R语言，通过可视化的途径来还原这一定理。本文的结构安排将从中心极限定理的定义、案例分析、R语言还原、总结四个部分来展开。

中心极限定理

一、 定义

中心极限定理是指，给定足够大的样本量,无论变量在总体中的分布如何,变量均值的抽样分布都将近似于正态分布。详细来讲，给定一个任意分布的总体，从这个总体中抽取n个样本，总共随机抽取m次，计算这m次的样本的平均值，则这些平均值的分布是正态分布，并且这些平均值的均值近似等于总体均值，平均值的方差为总体方差除以n。

在这里，要把握以下关键点，

• 第一，总体的分布是任意的，可以是卡方分布，可以是指数分布，可以是均匀分布，可以是…….

• 第二，从总体中要抽n个样本，总共要抽m次，这里的m和n都要求越大越好”。

• 第三，这m次样本的平均值的分布是正态分布，这种分布叫做抽样分布。

• 第四，这些样本平均值的均值是近似为总体均值，也就是说，求两次均值。

中心极限定理提出者法国数学家棣莫弗

二、 案例分析

中心极限定理一个很重要的用途就是根据样本均值来估计总体均值。举个例子，你现在要调查你们整个学校学生的政治成绩，要计算学生政治的平均成绩。你要是去收集每个学生的成绩，然后加总，再除以学生总数，整个工作力度很大，成本也很高。这时候中心极限定理就派上用场了，你先从校园中随机的抽取50个人，然后计算这50个人的平均成绩，记为x1,然后再随机的抽取的50个人，计算平均成绩，记为x2，一直这样随机的抽取，到最后进行了m次，记为xm；中心极限定理说的是x1,x2,x3……xm,它们的分布是正态分布，它们的均值就是该校学生政治的平均成绩。

样本平均值的均值计算公式

三、 R语言实现

• 第一步，生成一个总体，这个总体分布是任意的，在这里我们设置成了正态分布，样本总数10000个，并计算总体均值及其方差，结果分别为0.0032与0.966（计算这个结果是为了同后面的样本平均值的均值进行对比，从而验证定理 ）

第一步代码

原始分布的均值与方差

• 第二步，设置抽取的次数m，这里抽取的次数为越大越好，这里是10000；设置抽取的样本个数n，在这里分别10,50,100,500，分别画出直方图。

第二部代码

可以从以下直方图看出,样本均值的分布基本上都服从正态分布。

直方图分布

• 第三步，计算样本均值的均值与方差，并与总体均值与方差做出对比。

样本与总体对比图

我们可以看出，当样本量比较小的时候，样本均值的均值与总体均值相差比较大，因为n的数量没有达到要求；当n逐渐增大的过程中，样本均值的均值越来越与总体均值接近

• 第四步，在这里我们列出m很小的情况，设置值分别为300与1000。

m为300的分布状况

m为1000的分布状况

可以看出，当抽样次数m很小的时候，不是很大的时候，正态分布不是很明显的，所以抽样次数m一定要大，要越极限越好。

四、 总结

中心极限定理描述的是，当样本量和抽样次数很大的时候，纵使总体分布如何，样本的抽样分布趋近于正态分布，且样本平均值的均值近似于总体均值。利用这个定理，可以利用样本来推断整体。但是尤其要注意的是，样本量要求要大，不然，样本平均值不类似于总体均值；抽样次数也要大，不然分布达不到正态分布。