自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?

今天,洋葱君要给和大家分享一个严肃的数学问题(正色)。    

这个问题在当年困扰了洋葱君许久,后来直到洋葱君家里通了网(雾),才终于把它弄明白。    

问题的主角就是一个神奇的无理数:自然常数e。      

在初中阶段,“无理数”这个概念走进了大家的课本。    

老师会告诉大家,非完全平方数的平方根(比如根号2)就是有理数,还有圆周率π也是无理数。如果你再仔细查查资料翻翻书的话,就会发现,很多地方还提到,自然常数e也是无理数,它的数值约等于2.7182818285。 

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第1张图片

e的位置大概就在比2大一点、比3小一点的这个地方      

到了高中,在学到指数函数和对数函数的时候,自然常数e终于正式登上了数学课堂。    

书上说:如果a^x=N(a>0且a≠1),那么x就叫做以a为底、N的对数,记作x=logaN。比如,2^3=8,那么3就是以2为底8的对数。    

书上还说,以10为底的对数可以简写为lg,以e为底的对数还可以简写成ln。 

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第2张图片

就算你还没有上高中,也应该在科学计算器上见过这个“ln”了       

……等一下,把以10为底的对数写成lg还可以理解,毕竟10在日常生活中还挺常用的。    

但是e有什么特殊的意义吗?凭什么以e为底的对数也有这么好的待遇呢?   

难道e君身上有什么神秘的主角光环? 

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第3张图片

当年e君在上学的时候一定是坐后排靠窗这个座位的!      

……当然不可能啦!    

e确实有它的过人之处,足以让它担得起“自然常数”这个名号,且听洋葱君细细道来

e代表的是什么?      

洋葱君来给大家举一个例子:    

假如你现在手里有1元钱,想利用这1元钱来生出更多的钱来,于是把它存到了银行里。银行也非常看好你这种理财头脑,大发慈悲给了你一个超级大福利:把年利率涨到了100%。也就是说,一年之后这1块钱就会变成2块钱啦。    

但是你觉得等1年实在是太长了,半年算一次行不行?银行说:没问题呀,一年的利率是100%,那半年的利率就是50%了。    

你掐指一算:没关系,我可以过半年把钱取出来再存进去,这样就能实现利滚利的操作了呀!这样一来,一年之后这1元钱就变成了2.25元钱,比之前的2元多了0.25元呢!    

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第4张图片

感觉自己好机智!通过机智的操作,我们白赚了0.25块钱      

既然有甜头可赚,那还能不能再多赚点呢?当然可以啦~如果把取钱存钱的这个时间缩短到每4个月操作一次,获得的利息还可以进一步增长,也就是这个式子:   

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第5张图片

甚至如果你能够做到月月取、周周取甚至天天取,还能获得更大的收益哦!    

诶~这样一来,岂不是可以靠着存钱取钱这种操作,直接变成大富翁?    

……     

……       

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第6张图片

大家有没有发现,每次缩短取钱时间,利息增长的幅度好像也越来越少了?    

这并不是你的错觉。事实上,这个数额确实最终会趋近于一个“天花板”。想来也是,银行怎么可能让你白赚这么多钱呢┐(´∇`)┌。    

而这个就算你每时每分每秒都在存钱取钱,最终也无法突破的收益天花板,就是这篇文章的主角——e君啦~       

洋葱君刚刚讲到的例子,其实就是e的一种定义方法。把它用数学的语言简单粗暴地表示出来,可以写成下面这个式子:   

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第7张图片 

这个式子的意思是,当n的数值越来越大,要多大有多大,最后变得无限大的时候,(1+1/n)^n的数值将会越来越接近于一个数,这个数就是自然常数——e。  

e的“自然”之处       

通过上面的例子,我们不难发现,只要是涉及到和“增长”有关的概念,自然常数e就会出现。在大自然中,无论是生物的生长与繁殖,还是放射性物质的衰变……类似于复利问题这样的增长方式比比皆是。    

e代表的是某种“增长的极限值”,是一种内在的规律。如果说π代表了一个完美的圆周长,那么e就代表了一次完美的增长。      

虽然现在人们使用极限运算的概念来定义了e,但是仔细想来,e和π都只是安安静静地在数学历史的长河中等待人们发现的一个“秘密”。无论你学过数学还是没学数学,e都在那里,宠辱不惊,颇有种冥冥之中自有e意的感觉……     

怎么样,这样看来e君是不是确实挺“自然”的? 

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第8张图片 大噶好,我是e君,要记住我的名字哟       

不过,同样都是自然界的无理数,与π相比,e的名气也远远不如π那么响亮。    

π君发展到了今天,不仅已经有了专属希腊字母,还有特别节日3月14日和代表食物披萨(雾),其知名程度已经到了数学界内外开花的程度。而e君毕竟比较年轻,定义又比π抽象不少,知名度并不高。    

但是这也并没有妨碍e君圈粉——不如说,即使e君这么低调,还能成为e君粉丝的人,可以说是相当死忠了——谷歌公司就是一个例子。    

2004年,谷歌还是一家蓄势待发正准备上市的公司,当时谷歌公司在文件中宣布,它将要出售价值为2,718,281,828美元的股票。    

这个数字看上去漫不经心,实际上正好是自然常数e的前几位。由此看来,谷歌公司真的是e君的死忠粉哇!    

谷歌为什么会选择e作为融资数额我们不得而知,不过作为一颗专注数学好几年的洋葱君,还是觉得这个选择有点浪漫的~ 

自然常数「e」,它到底「自然」在哪儿?_第9张图片2004年谷歌上市现场       

看过这篇文章之后,是不是觉得自然常数还挺名副其实的?

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编辑 ∑Gemini

 来源:bilibili·洋葱数学

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