300分钟搞定数据结构与算法课程学习5 ——动态规划

动态规划可以说是很多准备算法面试者的梦魇，大家都非常怕面试官会出动态规划的题目，如果遇到一些做过的题目还好，但要是遇到了根本就没有做过的，就无从下手了。
 
本节课从动态规划的基本属性，题目分类，解题思想，以及算法复杂度等方面来详解动态规划。
判断动态规划

Wikipedia 定义：它既是一种数学优化的方法，同时也是编程的方法。
 
1. 是数学优化的方法——最优子结构

动态规划是数学优化的方法指，动态规划要解决的都是问题的最优解。而一个问题的最优解是由它的各个子问题的最优解决定的。

由此引出动态规划的第一个重要的属性：最优子结构（Optimal Substructure)。

一般由最优子结构，推导出一个状态转移方程 f(n)，就能很快写出问题的递归实现方法。

2. 是编程的方法——重叠子问题

动态规划是编程的方法指，可以借助编程的技巧去保证每个重叠的子问题只会被求解一次。

引出了动态规划的第二个重要的属性：重叠子问题（Overlapping Sub-problems）。

下面通过几个小例题来判断其方法是否符合动态规划。
 
举例 1：斐波那契数列问题。

解法：为了求出第 5 个斐波那契数，得先求出第 4 个和第 3 个数，但是在求第 4 个数的时候，又得重复计算一次第 3 个数，同样，对于第 2 个数的计算也出现了重复。
 
因此，判断一个问题能不能称得上是动态规划的问题，需要看它是否同时满足这两个重要的属性：最优子结构（Optimal Substructure）和重叠子问题（Overlapping Sub-problems）

举例 3：归并排序和快速排序是否属于动态规划？

解法：
将要排序的数组分成两半，然后递归地进行处理，满足最优子结构的属性；

不断地对待排序的数组进行对半分的时候，两半边的数据并不重叠，不会遇到重复的子数组，不满足重叠子问题的属性。

因此这两种算法不是动态规划的方法。

例题分析

LeetCode 第 300 题：给定一个无序的整数数组，找到其中最长子序列长度。
 
说明：
可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。

你算法的时间复杂度应该为 O(n2） 。

 
注意：子序列和子数组不同，它并不要求元素是连续的。
 
示例
输入：[ 10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18 ]
输出：4 
即，最长的上升子序列是 [2, 3, 7, 101]，它的长度是 4。

解题思路

在给定的数组里，有很多的上升子序列，例如：[10, 101]，[9, 101]，[2, 5, 7, 101]，以及 [2, 3, 7, 101]，只需要找出其中一个最长的。
 
思路 1：暴力法

找出所有的子序列，然后从中返回一个最长的。

从一个数组中罗列出所有的非空子数组有： n×(n + 1)/2 种，即 O(n2)，那么罗列出所有的非空子序列有 2n−1 种。复杂度将是 O(2n)。

思路 2：缩小问题规模

1. 找最优子结构：输入规模对半分

[10, 9, 2, 5] 最长的子序列应该是 [2, 5]，而 [3, 7, 101, 4] 最长的子序列是 [3, 7, 101]，由于 3 比 5 小，无法简单地组合在一起。即该方法下，总问题的解无法直观地通过子问题的最优解求得。

假设 f(n) 表示的是数组 nums[0，…，n−1] 中最长的子序列，那么 f(n−1) 就是数组 nums[0，…，n−2] 中最长的子序列，依此类推，f(1) 就是 nums[0] 的最长子序列。
 
假设已经解决了 f(1)，f(2)，… f(n−1) 的问题，考虑最后一个数 nums[n−1]，也必然考虑到倒数第二个数 nums[n−2]，所以 f(n) 指：如果包含了最后的数，那么最长的子序列应该是什么。
注意：最后这个数必须包含在子序列当中的。
 
如何通过 f(1)，f(2)，…f(n−1) 推导出 f(n) 呢？由于最后一个数是 4，我们只需要在前面的 f(1)，f(2)，…f(n−1) 当中，找出一个以小于 4 的数作为结尾的最长的子序列，然后把 4 添加到最后，那么 f(n) 就一定是以 4 作为结尾的最长的子序列了。

总结解决动态规划问题的两个难点。

（1）如何定义 f(n)
对于这道题而言，f(n) 是以 nums[n−1] 结尾的最长的上升子序列的长度

（2）如何通过 f(1)，f(2)，…f(n−1) 推导出 f(n)，即状态转移方程
本题中，nums[n−1] 和比它小的每一个值 nums[i] 进行比较，其中 1<=i  
 以上证明了这个问题有一个最优的子结构。

下面开始LeetCode刷题