完美数简介及算法分析

完美数简介

各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。

解法

如何求小于10000的所有完美数？并将程式写的有效率？基本上有三个步骤：

求出一定数目的质数表

利用质数表求指定数的因式分解

利用因式分解求所有真因数和，并检查是否为完美数

 

步骤一 与 步骤二在之前讨论过了，问题在步骤三，如何求真因数和？方法很简单，要先知道将所有真因数和加上该数本身，会等于该数的两倍，例如：

2 * 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28

等式后面可以化为：

2 * 28 = (2⁰ + 2¹ + 2²) * (7⁰ + 7¹)

所以只要求出因式分解，就可以利用回圈求得等式后面的值，将该值除以2就是真因数和了；等式后面第一眼看时可能想到使用等比级数公式来解，不过会使用到次方运算，可以在回圈走访因式分解阵列时，同时计算出等式后面的值，这在下面的实作中可以看到。

C/OC代码实现

#define N 1000
#define P 10000

int prime(int*);  // 求质数表
int factor(int*, int, int*);  // 求factor（因式分解）
int fsum(int*, int);  // sum ot proper factor（因式求和，判断是不是完全数）

//主程序（C/OC）
int ptable[N+1] = {0}; // 储存质数表
int fact[N+1] = {0};   // 储存因式分解结果
int count1, count2, i;

count1 = prime(ptable);

for(i = 0; i <= P; i++) {//i为被判断的数
    count2 = factor(ptable, i, fact);//将i因式分解，通过质数表ptable，结果放到fact中
    if(i == fsum(fact, count2))
        printf("Perfect Number: %d\n", i);
}
printf("\n");

//求质数表，放到pNum中
int prime(int* pNum) {
    int i, j;
    int prime[N+1];
    
    for(i = 2; i <= N; i++)
        prime[i] = 1;
    
    for(i = 2; i*i <= N; i++) {
        if(prime[i] == 1) {
            for(j = 2*i; j <= N; j++) {
                if(j % i == 0)
                    prime[j] = 0;
            }
        }
    }
    
    for(i = 2, j = 0; i < N; i++) {
        if(prime[i] == 1)
            pNum[j++] = i;
    }
    
    return j;
}

//将i因式分解，通过质数表ptable，结果(都是质数)放到fact中
int factor(int* table, int num, int* frecord) {
    int i, k;
    
    for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) {
        if(num % table[i] == 0) {
            frecord[k] = table[i];
            k++;
            num /= table[i];
        }
        else
            i++;
    }
    
    frecord[k] = num;
    
    return k+1;
}

//通过传入质数表和质数表长度，判断质数表所对应的数是不是完美数
int fsum(int* farr, int c) {
    int i, r, s, q;
    i = 0;
    r = 1;
    s = 1;
    q = 1;
    while(i < c) {
        do {
            r *= farr[i];
            q += r;//q为真因子相加结果
            i++;
        } while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]);//如果因子中有两个相同质数
        s *= q;//某个因子（包括相同的）计算结束，保存在s中，然后while循环判断下一个质数
        r = 1;
        q = 1;
    }
    return s / 2; 
}