一些基础数论的知识和证明

算术基本定理

N = p α 1 ∗ p α 2 ∗ . . . ∗ p α k N=p^{\alpha _{1}}*p^{\alpha _{2}}*...*p^{\alpha _{k}} N=pα1pα2...pαk

约数个数

( α 1 + 1 ) ∗ ( α 2 + 1 ) . . . ∗ ( α k + 1 ) (\alpha _{1}+1)*(\alpha _{2}+1)...*(\alpha _{k}+1) (α1+1)(α2+1)...(αk+1)

证明:

已知 N = p α 1 ∗ p α 2 ∗ . . . ∗ p α k N=p^{\alpha _{1}}*p^{\alpha _{2}}*...*p^{\alpha _{k}} N=pα1pα2...pαk
d = p β 1 ∗ p β 2 ∗ . . . ∗ p β k d=p^{\beta _{1}}*p^{\beta _{2}}*...*p^{\beta _{k}} d=pβ1pβ2...pβk,且 d d d N N N的一个约数,对于 [ β 1 , β k ] [\beta_{1},\beta_{k}] [β1,βk]的每一种取法, d d d都是 N N N的不同约数。
对于 β 1 \beta_{1} β1,可以取 [ 0 , α 1 ] [0,\alpha_{1}] [0,α1],即存在 α 1 + 1 \alpha_{1}+1 α1+1种取法;对于 β 2 \beta_{2} β2,可以取 [ 0 , α 2 ] [0,\alpha_{2}] [0,α2],即存在 α 2 + 1 \alpha_{2}+1 α2+1种取法;对于 β k \beta_{k} βk,可以取 [ 0 , α k ] [0,\alpha_{k}] [0,αk],即存在 α k + 1 \alpha_{k}+1 αk+1种取法。
由乘法原理得,约数个数为 ( α 1 + 1 ) ∗ ( α 2 + 1 ) . . . ∗ ( α k + 1 ) (\alpha _{1}+1)*(\alpha _{2}+1)...*(\alpha _{k}+1) (α1+1)(α2+1)...(αk+1)
证毕。

约数之和

( p 1 0 + p 1 1 + . . . + p 1 α 1 ) ∗ ( p 2 0 + p 2 1 + . . . + p 2 α 2 ) ∗ . . . ∗ ( p k 0 + p k 1 + . . . + p k α k ) (p_{1}^0+p_{1}^1+...+p_{1}^{\alpha_{1}})*(p_{2}^0+p_{2}^1+...+p_{2}^{\alpha_{2}})*...*(p_{k}^0+p_{k}^1+...+p_{k}^{\alpha_{k}}) (p10+p11+...+p1α1)(p20+p21+...+p2α2)...(pk0+pk1+...+pkαk)

证明

已知 N = p α 1 ∗ p α 2 ∗ . . . ∗ p α k N=p^{\alpha _{1}}*p^{\alpha _{2}}*...*p^{\alpha _{k}} N=pα1pα2...pαk
( 1 ) (1) (1)计算 p α 1 p^{\alpha_{1}} pα1的约数之和,显然有 ( p 1 0 + p 1 1 + . . . + p 1 α 1 ) (p_{1}^0+p_{1}^1+...+p_{1}^{\alpha_{1}}) (p10+p11+...+p1α1)
( 2 ) (2) (2)计算 p α 2 p^{\alpha_{2}} pα2的约数之和,显然有 ( p 2 0 + p 2 1 + . . . + p 2 α 2 ) (p_{2}^0+p_{2}^1+...+p_{2}^{\alpha_{2}}) (p20+p21+...+p2α2)

(k)计算 p α k p^{\alpha_{k}} pαk的约数之和,显然有 ( p k 0 + p k 1 + . . . + p k α k ) (p_{k}^0+p_{k}^1+...+p_{k}^{\alpha_{k}}) (pk0+pk1+...+pkαk)

由乘法原理得,约数之和为 ( p 1 0 + p 1 1 + . . . + p 1 α 1 ) ∗ ( p 2 0 + p 2 1 + . . . + p 2 α 2 ) ∗ . . . ∗ ( p k 0 + p k 1 + . . . + p k α k ) (p_{1}^0+p_{1}^1+...+p_{1}^{\alpha_{1}})*(p_{2}^0+p_{2}^1+...+p_{2}^{\alpha_{2}})*...*(p_{k}^0+p_{k}^1+...+p_{k}^{\alpha_{k}}) (p10+p11+...+p1α1)(p20+p21+...+p2α2)...(pk0+pk1+...+pkαk)
证毕。

欧拉函数

φ ( N ) \varphi(N) φ(N) [ 1 , N ] [1,N] [1,N]中与 N N N互质的数的个数。
N N N可以分解质因数为 N = p α 1 ∗ p α 2 ∗ . . . ∗ p α k N=p^{\alpha _{1}}*p^{\alpha _{2}}*...*p^{\alpha _{k}} N=pα1pα2...pαk
存在公式 φ ( N ) = N ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) . . . ( 1 − 1 p k ) \varphi(N)=N(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})...(1-\frac{1}{p_{k}}) φ(N)=N(1p11)(1p21)...(1pk1)

证明

欧拉函数的证明使用容斥原理。
1. 1. 1.减去 p 1 , p 2 . . . p k p_{1},p_{2}...p_{k} p1,p2...pk的倍数的个数,即 N p i \frac{N}{p_{i}} piN
2. 2. 2.加上 p i ∗ p j p_{i}*p_{j} pipj的倍数的个数,即 N p i ∗ p j \frac{N}{p_{i}*p_{j}} pipjN
3. 3. 3.减去 p i ∗ p j ∗ p k p_{i}*p_{j}*p_{k} pipjpk的倍数的个数,即 N p i ∗ p j ∗ p k \frac{N}{p_{i}*p_{j}*p_{k}} pipjpkN
. . . ... ...
得到: N − N p i + N p i ∗ p j . . . N-\frac{N}{p_{i}}+\frac{N}{p_{i}*p_{j}}... NpiN+pipjN...,化简得 N ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) . . . ( 1 − 1 p k ) N(1-\frac{1}{p_{1}})(1-\frac{1}{p_{2}})...(1-\frac{1}{p_{k}}) N(1p11)(1p21)...(1pk1)
证毕。

欧拉定理

a a a n n n互质,则 a ϕ ( n ) ≡ 1 a^{\phi_{(n)}}{\equiv}1 aϕ(n)1 ( m o d mod mod n n n)

证明

[ 1 , n ] [1,n] [1,n]中与 n n n互质的数分别为 a 1 , a 2 . . . a ϕ ( n ) a_{1},a_{2}...a_{\phi_(n)} a1,a2...aϕ(n)。由于 a a a n n n互质,所以 a ∗ a 1 , a ∗ a 2 . . . a ∗ a k a*a_{1},a*a_{2}...a*{a_k} aa1,aa2...aak也分别与 n n n互质,且互不相同。

关于互不相同的证明

假设 a ∗ a 1 与 a ∗ a 2 a*a_{1}与a*a_{2} aa1aa2相同,则有如下式子

a ∗ a 1 ≡ a ∗ a 2 a*a_{1} {\equiv}a*a_{2} aa1aa2 ( m o d mod mod n n n)
a ( a 1 − a 2 ) ≡ 0 a(a_{1}-a_{2}) {\equiv} 0 a(a1a2)0 ( m o d mod mod n n n
a 1 − a 2 ≡ 0 a_{1}-a_{2} {\equiv} 0 a1a20 ( m o d mod mod n n n)
a 1 = a 2 a_{1}=a_{2} a1=a2
ϕ ( n ) \phi_{(n)} ϕ(n)的定义矛盾,故 a ∗ a 1 , a ∗ a 2 . . . a ∗ a k a*a_{1},a*a_{2}...a*{a_k} aa1,aa2...aak互不相同

整理得以下式子
a ∗ a 1 , a ∗ a 2 . . . a ∗ a k ≡ a 1 , a 2 . . . a ϕ ( n ) a*a_{1},a*a_{2}...a*{a_k} {\equiv} a_{1},a_{2}...a_{\phi_(n)} aa1,aa2...aaka1,a2...aϕ(n) ( m o d mod mod n n n)
a ϕ ( n ) ∗ ( a 1 , a 2 . . . a ϕ ( n ) ) ≡ a 1 , a 2 . . . a ϕ ( n ) a^{\phi_{(n)}}*(a_{1},a_{2}...a_{\phi_{(n)}}) {\equiv} a_{1},a_{2}...a_{\phi_(n)} aϕ(n)(a1,a2...aϕ(n))a1,a2...aϕ(n) ( m o d mod mod n n n)
a ϕ ( n ) ≡ 1 a^{\phi_{(n)}}{\equiv} 1 aϕ(n)1 ( m o d mod mod n n n)
证毕。

费马小定理

a p − 1 ≡ 1 a^{p-1}{\equiv}1 ap11 ( m o d mod mod p p p)

证明

见欧拉定理的证明过程

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