2、算法概述

参考：《大话数据结构》程杰

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，而且每条指令表示一个或多个操作，数据结构与算法是相辅相成的关系。

算法是解决问题的方法，算法（Algorithm）是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，而且每条指令表示一个或多个操作。
算法有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。
（1）输入输出：算法具有零个或多个输入，至少有一个或多个输出，算法一定需要输出。
（2）有穷性：算法在执行有限步骤后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
（3）确定性：算法的每一个步骤都有确定的含义，不会出现二义性，算法在一定条件下，只有一条执行路径。相同输入只有唯一的输出结果，算法的每个步骤精确定义而无歧义。
（4）可行性：算法的每一步都必须是可行，每一步都能通过执行有限次数完成

算法的设计要求：正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低
算法效率的度量方法：事后统计方法、事前分析估算方法、

函数渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得所有n > N，f(n)总是比g(n) 大，则f(n)的增长渐进快于g(n)。
判断算法效率时，函数的常数和其他次项常常可以忽略，更加关注主项的阶数。
2.1、算法时间复杂度

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定义：运行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度就是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n))，它表示规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长相同，称为算法的渐进时间复杂度。

1、推导大O阶方法：

i、用常数1取代运行时间中所有的加法常量
ii、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
iii、如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数，得到结果是大O阶

2、常数阶

不管这个常数是多少，我们都记作O(1)。执行的次数都是恒定的，不会随着n的变化而发生变化。

3、线性阶

确定某个算法的阶次，需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数，分析算法的复杂度，关键是分析循环结构的运行情况， 如下代码时间复杂度为O(n)

int i 
for(i = 0; i < n; i++){
/*时间复杂度为O(1)的从程序步骤序列*/
}

4、对数阶

每个count乘以2之后，距离n更近一倍，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。时间复杂度为O(logn)。

int count = 1;
while( count < n){
 count = count * 2;//时间复杂度O(1)的程序步骤序列
}

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5、平方阶

时间复杂度为O(n^2)

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
 for(j = 0; j < n; j++){
 //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
 }
}

时间复杂度为O(n*m)

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
 for(j = 0; j < m; j++){
 //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
 }
}

以下循环嵌套的时间复杂度为O(n^2)

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int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
 for(j = i; j < n; j++){
 //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
 }
}

总结

常见的时间复杂度

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时间复杂度的消耗从小到大为：

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最坏情况运行时间是一种保证，运行时间将不会再坏了，在应用中，这是一种最重要的需求。除非特别指定，提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
2.2、算法空间复杂度

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算法的空间复杂度是通过计算算法所需的存储空间实现的，算法空间复杂度的计算公式记做：S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)是关于n所占存储空间的函数。

一般的，程序执行时，需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，需要存储对数据操作的存储结构，若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量是常数，则称空间复杂度为O(1)。