基础算法——查找第k小的数

题目描述

给定一个长度为n的整数数列，以及一个整数k，请用快速选择算法求出数列从小到大排序后的第k个数。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 k。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在1~109范围内），表示整数数列。

输出格式
输出一个整数，表示数列的第k小数。

数据范围
$1\le n\le 100000$,
$1\le k\le n$

输入样例：

5 3
2 4 1 5 3

输出样例：

3

算法思想

基于快排的思想，从数组a[]中找出一个基准值v，把数组分为两部分a[l...j]和a[j+1...r]。a[l...j]中的元素小于v，a[j+1...r]中元素大于v。这时有两种情况：

1. a[l...j]中元素的个数大于等于k，则递归到数组a[l...j]中搜索的第k小的数。
2. a[l...j]中元素的个数小于k，则递归到数组a[j+1...r]中第k-(j-l+1)小的数

时间复杂度

因为每次分区完只需要继续操作一边，所以该算法的平均时间复杂度是$O(n)$。

用$T(n)$表示元素的比较次数，那么平均情况下：

• 第一次划分：$T(n)=T(\frac{n}{2})+n$
• 第二次划分：$T(n)=T(\frac{n}{4})+\frac{n}{2}+n$
• 第三次划分：$T(n)=T(\frac{n}{8})+\frac{n}{4}+\frac{n}{2}+n$
• $...$
• 最终： $T(n)=T(\frac{n}{n})+2+4+...+\frac{n}{4}+\frac{n}{2}+n=1+2+4+...+n$
  是一个等比数列的求和公式，公比为2，一共有$lo{g}_2^n$，最终结果为：$T(n)=\frac{1-2\times n}{1-2}\approx 2n$。

代码实现

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];

int find(int l, int r, int k)
{
     
    if(l >= r) return a[l];
    
    int i = l - 1, j = r + 1, v = a[l + r >> 1];
    
    while(i < j)
    {
     
        do i ++; while(a[i] < v);
        do j --; while(a[j] > v);
        if(i < j) swap(a[i], a[j]);
    }
    
    if(j - l + 1 >= k) return find(l, j, k);
    else return find(j + 1, r, k - (j - l + 1));
}

int main()
{
     
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    cout << find(0, n - 1, k) << endl;
    
    return 0;
}