拓扑空间中的收敛性

1. 前言

我们假设读者已经了解点集拓扑的一些基础概念，例如开集，邻域，紧空间等等，我们现在讨论拓扑空间中的收敛性。
我们知道，在度量空间中，许多拓扑性质可以用序列刻画，例如

• 在度量空间$X$中，集合$A\subset X$，则$A$的闭包可以被序列刻画：
  $$\overline{A}=\{x\in X:存在序列x_n\in A，且d(x_n,x)\to 0\}.$$

但是在一般的拓扑空间中，序列这个概念已经不足以刻画拓扑性质了，例如

(第一不可数序，the first uncountable ordinal) 我们在文章集合与拓扑/第一不可数序中介绍了第一不可数序${\omega }_1$，在序拓扑中，${\omega }_1=\mathbf{s}\mathbf{e}\mathbf{g}{y}_0\subset (-\infty ,y_0]$，验证：

• ${\omega }_1$在$(-\infty ,y_0]$中是序列闭的，即任何收敛序列$(x_n)\subset {\omega }_1$的极限$x$仍在${\omega }_1$中。
• ${\omega }_1$在$(-\infty ,y_0]$中不是闭集。

因此，我们需要一些更广泛的概念来描述拓扑性质。1922年，Moore和Smith发现了一种序列的推广，几乎可以完美地刻画拓扑性质，他们称之为“网（nets）”。1937年，Cartan发现另一种推广，被称为“滤子（filters）”，虽然滤子的定义看起来和序列关系不大，但滤子也能刻画拓扑性质，在某种意义下，比网更合适。
我们将证明，滤子和网的概念事实上是等价的。

2. 网

定义1(序列). 设$X$是一个集合，$X$中的一个序列$(x_n)$定义为函数
$$f:\mathbb{N}\to X$$
其中$f(n)$被记为$x_n$。

注意到，我们使用$(x_n)$来表示序列，而不是用$\{x_n\}$，因为$(x_n)$表示函数而$\{x_n\}$表示集合。当$X=\mathbb{R}$时，序列$(1)$表示的是常数函数$f:\mathbb{N}\to X,n\mapsto 1$，而集合$\{1\}$表示的是元素为$1$的集合。

因此，想要推广序列的概念，直接的想法是改变$f$的定义域。比如，令$f$的定义域为$\mathbb{R}$，那么表示的就是一个以实数为指标的序列，$x_{\pi },x_e$等就都有了意义。然而，定义域不能任意改变，我们需要将定义域变为某一种集合——指向集（directed set）。

定义2(指向集). 设$X$是一个集合，$X$上有一个二元关系$\le$，满足如下条件

• 自反性，即对任何$x\in X$，有$x\le x$。
• 传递性，即如果$x\le y$且$y\le z$，则$x\le z$。
• 指向性，即对于任何$x,y\in X$，存在$z\in X$使得$x\le z$且$y\le z$。

注意到，指向集和偏序集的差别是，偏序集的反对称性换成了指向性，就变成了指向集。

例子1. 设$X={\mathbb{R}}^2$，在$X$上定义二元关系$\le$，对$x,y\in {\mathbb{R}}^2$，称$x\le y$，如果$|x|\ge |y|$。验证：

• $({\mathbb{R}}^2,\le )$满足自反性和传递性。
• $({\mathbb{R}}^2,\le )$满足指向性，但不满足反对称性。

这说明$({\mathbb{R}}^2,\le )$是指向$0$的指向集，但不是偏序集。

例子2. 设$\mathcal{P}$表示从$\mathbb{N}$的子集到$\mathbb{N}$的函数，即$f\in \mathcal{P}$当且仅当$$f:S_f\to \mathbb{N}$$
其中$S$是$\mathbb{N}$的子集。

• 定义$\mathcal{P}$上的二元关系$f\le g$，当且仅当$f=g$，则$(\mathcal{P},\le )$是偏序集，但不是指向集。
• 定义$\mathcal{P}$上的二元关系$f\le g$，当且仅当$S_f\subset S_g$且$g{|}_{S_f}=f$。则$(\mathcal{P},\le )$是偏序集，但不是指向集。

有了指向集的概念，我们就可以定义网了

定义3(网). 设$X$是集合，$X$中的一个网$(x_{\alpha })$，是一个函数
$$f:I\to X$$
其中$I$是一个指向集。设$\alpha \in I$，$f(\alpha ）$通常记为$x_{\alpha }$。

3. 滤子

滤子的定义更加抽象，但滤子在证明过程中却更加方便，这不得不说是一种取舍。

定义4(滤子). 设$X$是集合，称$\mathcal{F}\subset 2^X$是滤子，如果

• 如果$F_1,F_2\in \mathcal{F}$，则$F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$.
• 如果$F\in \mathcal{F}$且$F\subset G$，则$G\in \mathcal{F}$.

特别地，如果滤子$\mathcal{F}$中存在两个集合不交，则$\mathcal{F}=2^X$是平凡滤子。

例子3. 设$X$是拓扑空间，$x\in X$，则$x$的所有邻域构成一个滤子。

为了说明网和滤子的等价性，根据我们的例子1和例子3，直观上，我们应该考虑由一个网最终落到的那些集合形成的滤子，这就架起了从网到滤子的桥梁。

定义5. 设$X$是集合，$(x_{\alpha })$是一个网，$A\subset X$是子集，称网$(x_{\alpha })$最终落到$A$中，如果存在$\alpha$使得任何$\beta \ge \alpha$，都有$x_{\beta }\in A$。