【Leetcode每日笔记】96. 不同的二叉搜索树(Python)

题目

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3 输出: 5 解释: 给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

解题思路

动态规划

状态定义

dp[i]表示当前有i个数字时所构成的不同的二叉搜索树的种数

状态转移方程

以3为例，当以1为根，左子树为空，右子树为2和3，那么右子树的结构的种数就是整个树的种数，为1*dp[2]，当以2为根，左右子树分别为1，3，即dp[1]*dp[1]，当以3为根，右子树为空，左子树为1，2，为dp[2]*1。
递推可得到状态转移方程:$dp[i]={\sum }_1^{i}dp[j-1]\ast dp[i-j],j\in [3,n],且dp[0]=1,dp[1]=1,dp[2]=2$

数学方法

卡塔兰数
$C_0=1,C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{C}_n$

代码

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [1,1,2] + [0 for _ in range(n-2)]
        if n < 3:
            return dp[n]
        for i in range(3,n+1):
            for j in range(1,i+1):
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]
        return dp[-1]

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        C = 1
        for i in range(0, n):
            C = C * 2*(2*i+1)/(i+2)
        return int(C)