Python实现查找第K小元素(上)--快排思想

今天抽时间实现的是查找第$K$小元素算法。

问题描述：给定线性序集中$n$个元素和一个整数$k(1<=k<=n)$，要求找出这$n$个元素中第$k$小的元素。

对于这个问题，一般可以直接想到的方法就是，先对这$n$个数字进行排序，然后直接选取第k个元素，排序算法可以用我们之前实现过的归并排序或者快速排序，这样实现的算法时间复杂度是$O(nlogn)$

我们最近一直在学习分治思想，所以就考虑能否将分治的思想应用到第$k$个元素的选择问题中，将时间复杂度降下来呢？

我们可以对数组进行类似快排那样将数据分成两段，得到排序后随机元$i$的位置$p$，如果$k$等于$p+1$，则说明$i$就是第$k$小的元素，如果$k$小于$p+1$，说明第$k$小的元素在随机元$i$的左侧，否则，第$k$小的元素在随机元$i$的右侧。

对选中的一段重复前面类似快排的操作，直到找到全局第$k$个元素。具体内容结合下面的代码来看：

def Select_K(nums:list,left:int,right:int,k:int) -> int:
    if left > right:
        return 
    if k > len(nums) or k <= 0:
        return 'k is out of range'
    
    p = getIndex(nums,left,right)
    
    if k == p+1:
        return nums[p]
    if k < p+1:
        return Select_K(nums,left,p-1,k)
    else:
        return Select_K(nums,p+1,right,k)
#Select_K函数中使用了尾递归，可以消除栈溢出的情况，具体什么是尾递归，以后会有开一个专题来说
    
def swap(nums:list,i:int,j:int):
    temp = nums[i]
    nums[i] = nums[j]
    nums[j] = temp
    
def getIndex(nums:list,left:int,right:int) -> int:
    n = nums[left]
    i,j = left,right
    
    while True:
        while i < right and nums[i] <= n:
            i += 1 
        while nums[j] > n:
            j -= 1
        if i >= j:
            break
        else:
            swap(nums,i,j)
            
    nums[left] = nums[j]
    nums[j] = n
    return j
    

通过上面的方法，可以得到第$k$小的值，但是在算法的复杂度上来看只是快排的一半，时间复杂度并没有降多少，但是经过大佬证明：当我们使用随机取元(RandomGetIndex)方法获得随机元$i$的时候，平均的搜索时间可以降到线性时间内，也就是平均时间复杂度为 $O(n)$ 。

那么，能否找到一种方法，使得最坏情况下的搜索也能在线性时间内完成呢？答案是可以的，但是我们将在下篇博客中进行讲解实现。

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。