图论中的概念(3)——同构

图的同构(isomorphism of  graphs)

(1)称G=(V,E)G¢=(V¢,E¢)二图同构,记为GG¢Û存在  着两个双射函数jyj : V ®V¢y : E®E¢ ,使得

        y(u,v)=(u¢,v¢)Þj (u)=u¢Ùj (v)=v¢          (*)

 

(2)G=(V,E,g)G¢=(V¢,E¢,g¢)二图同构,记为GG¢Û存在着两个双射函数jyj : V ®V¢y : E®E¢ ,使得 y(e)=e¢Ùg(e)={ u,v}Ùg¢(e¢)={ u¢,v¢}Þj(u)=u¢Ùj(v)=v¢

y(e)=e¢Ùg(e)=(u,v)Ùg¢(e¢)=(u¢,v¢)Þj (u)=u¢Ùj (v)=v¢ 

注: ·此定义(1)中(*)式也可改写为:

    y(u,v)= (j(u), j(v))                                    (*¢)

     此定义(2)中(**)式也可改写为:

       g(e)={ u,v}Þ g¢(y(e))={ j(u), j(v)}

    或    g(e)=(u,v)Þ g¢(y(e))=(j(u), j(v))          

       这实际上就是图的同态公式  

          ·图的同构远比代数系统的同构复杂。这是因为图的同构在同态公式中牵扯着两个(甚至三个,考虑定义三)双射函数的交叉关系,而代数系统的同构在同态公式中只有一个双射函数。因此图的同构问题不象代数系统的同构问题那样有许多进展、有几个定理好用,迄今为止,没有任何进展,没有任何定理可用,仅仅只能用定义。

例1.

图论中的概念(3)——同构_第1张图片

图19中的(a)和(b)二无向图是同构的。

(采用变形法)其同构函数为jy ,使得

        j (u1)=v1 , j (u2)=v2 , j (u3)=v3 , j (u4)=v4

        y(u1,u2)=(v1, v2) , y(u1,u3)=(v1, v3) , y(u1,u4)=(v1, v4) ,

        y(u2,u3)=(v2, v3) ,y(u2,u4)=(v1, v2) , y(u3,u4)=(v3, v4);         

从而jy两个双射函数,且满足同态公式(*),因此(a)和(b)二图是同构的。

例2

图20中的(a)和(b)二无向图是同构的。

图论中的概念(3)——同构_第2张图片

   (采用抻路蹦圈法)其同构函数为jy ,使得

        j(v1)=a, j(v2)=c, j(v3)=e, j(v4)=b, j(v5)=d

        y(v1,v3)=(a, e) , y(v1,v4)=(a, b) , y(v2,v4)=(c, b) ,

        y(v2,v5)=(c, d) ,y(v3,v5)=(e, d)     

从而jy两个双射函数,且满足同态公式(*),因此(a)和(b)二图是同构的。

两个图能否同构,从直观的意义上讲是能否将其中的一个图示通过某些“变形”后使它成为另一个图示的形状。如将(a)图示作如下变形-蹦圈后就可得到(b)图示:

              图论中的概念(3)——同构_第3张图片

例3.图22中的(a)和(b)二无向图是同构的。

图论中的概念(3)——同构_第4张图片

     (采用抻路蹦圈法)其同构函数为jy,使得

        j(u1)=v1, j(u2)=v5, j(u3)=v3,

        j(u4)=v6, j(u5)= v2, j(u6)= v4

        y(u1,u4)=(v1,v6) , y(u1,u5)=(v1,v2) , y(u1,u6)=(v1,v4) ,

        y(u2,u4)=(v5,v6) , y(u2,u5)=(v5,v2) , y(u2,u6)=(v5,v4) ,

        y(u3,u4)=(v3,v6) , y(u3,u5)=(v3,v2) , y(u3,u6)=(v3,v4)

    从而jy两个双射函数,且满足同态公式(*),因此(a)和(b)二图是同构的。

例4.

图23中的(a)和(b)二有向图是同构的。

    (采用抻路蹦圈法)其同构函数为jy,使得

         j(u1)=v1, j(u2)=v2, j(u3)=v4, j(u4)=v3 

         y(u1,u2)=(v1,v2) , y(u1,u4)=(v1,v3) ,

         y(u2,u3)=(v2,v4) , y(u4,u3)=(v3,v4) 

     从而jy两个双射函数,且满足同态公式(*),因此(a)和(b)二图是同构的。

图论中的概念(3)——同构_第5张图片

若两个图同构,则它们必须满足: (1)结点个数相等; (2)边数相等; (3)对应结点的进度、出度、度数均相等; (4)度数相同的结点个数相等; (5)平行边对应,重数相等; (6)自环对应;悬挂点对应;孤立点对应; (7)结点间的相邻关系对应;边间的相邻关系对应;结点与边的关联关系对应; (8)圈对应;路对应; (9)对应圈的长度相等;对应路的长度相等;

若两个图同构,则它们必须满足:

    (1)结点个数相等;

 (2)边数相等;

 (3)对应结点的进度、出度、度数均相等;

    (4)度数相同的结点个数相等;

 (5)平行边对应,重数相等;

    (6)自环对应;悬挂点对应;孤立点对应;

 (7)结点间的相邻关系对应;边间的相邻关系对应;结点与边的关联关系对应;

    (8)圈对应;路对应;

    (9)对应圈的长度相等;对应路的长度相等;

  例5.

图24中(a)、(b)两图不同构。

图论中的概念(3)——同构_第6张图片

Ulam猜想(1960).

    1960年 Ulam提出如下关于图同构的著名猜想,至今无人能够证明或否定。

    设G=(V,E)G¢=(V¢,E¢)是两个图,其结点集分别为

        V={ v1, v2, ¼, vn及  V¢={ v1¢, v2¢, ¼, vn¢} (n³3) ,则

             ("iÎN)(1£i£n)(HiHi¢) Þ(GG¢)

GG¢ n特殊真子图对应同构,则GG¢同构

这里:Hi =G\{ vi}= (Vi,Ei),

                Vi =V\{ vi},

                Ei ={(u,v)ú (u,v)ÎEÙ u ¹vi Ù v ¹vi};

            Hi¢ =G¢ \{ vi¢}= (Vi¢,Ei¢),

                Vi¢ =V¢ \{ vi¢},

                Ei¢ ={(u¢,v¢)ú (u¢,v¢)ÎE¢Ùu¢ ¹vi¢Ùv¢ ¹vi¢}。

 

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