数学分析_多元函数积分——曲线积分、曲面积分总结

多元函数积分——曲线积分、曲面积分

1.积分形式与物理意义

曲线积分

• I类曲线积分：$${\int }_{L}f(x,y)ds$$
  f(x,y)为线密度，积分结果为质量。因此，积分结果与路径方向无关。

• II类曲线积分：$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
  P（x,y）、Q(x,y)分别为x轴方向和y轴方向的变力，积分结果为变力做的功。因此积分结果与路径方向有关。（方向相反，正功变负功）

两类线积分的联系：
$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{L}Pcos\alpha +Qcos\beta ds$$
其中，$cos\alpha 、cos\beta$为曲线L切线的方向余弦.
从做功角度理解这个关系,即将力P(x,y)和Q（x,y）正交分解为沿L方向和垂直L方向，垂直L方向力做功为0，沿L方向合力做的功 = 分力做功之和

曲面积分

• I类曲面积分：$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)ds$$
  $f(x,y,z)$为面密度，积分结果为质量，因此积分结果与$\Sigma$侧的选取无关
• II类曲面积分：$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
  $P、Q、R$为流速，积分结果表示流过$\Sigma$面的流量，因此与$\Sigma$侧的选取有关

两类曲面积分的联系：
$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma ds$$
其中，$cos\alpha 、cos\beta 、cos\gamma$为面$\Sigma$法向量的方向余弦

2.计算方法

注意：利用好奇偶性、对称性能大大简化计算

• I类曲线积分:${\int }_{L}f(x,y)ds$

(1)消元法

$ds=\sqrt{(1+y^{\prime 2})}dx=\sqrt{(\rho +{\rho }^{\prime 2})}d\rho =\sqrt{(x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t))}dt$

选择合适的坐标系进行计算

• II类曲线积分：${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

(1) 参数方程
${\int }_{L}Pdx+Qdy=$ ${\int }_{L}P{x}^{\prime }(t)+Q{y}^{\prime }(t)dt$

(2) Green公式/Stokes公式（将曲线积分化为曲面积分）

Green公式（平面）：
${\oint }_{L}Pdx+Qdy=$${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$

注意：
1.L方向为正向（人沿着L走，D总是在人的左边）
2.P、Q在D内有连续一阶偏导，若封闭曲线有不可导的点,可采取先挖后补的方式利用Green公式
3.对于未封闭的曲线，可通过补线来使用Green公式

Stokes公式(空间):
$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|ds$$

其中cosα 、cosβ 、cosγ为曲面S的方向余弦，化为I型曲面积分后进一步可以使用投影法。

(3) 改变积分路径法(仅适用于积分与路径无关的情况)

什么时候积分与路径无关？
P、Q在单连通区域D有一阶偏导，且满足下述三个条件之一

1.${\oint }_{L}Pdx+Qdy=0$

2.$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

3.存在$F(x,y),s.tPdx+Qdy=dF$

• I类曲面积分：${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)ds$

(1)投影法

$ds=\sqrt{1+{z^{\prime }}_x^2+{z^{\prime }}_y^2}dxdy$

${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)ds={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{z^{\prime }}_x^2+{z^{\prime }}_y^2}dxdy$

• II类曲面积分：${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

(1)投影法

${\iint }_{\Sigma }Pdydz=\pm {\iint }_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)dydz$

$\Sigma$法向量与x成锐角时取‘+’
另外两项类比即可

(2)消元法
${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}P(-\frac{\partial z}{\partial x})+Q(-\frac{\partial z}{\partial y})+Rdxdy$
这里是用z = z(x,y)进行替换

(3)Gauss公式(将曲面积分化为三重积分)

$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$，$\Sigma$取外侧

注意：
1.$\Sigma$为封闭曲面
2.$\Omega$内有一阶连续偏导
3.不封闭的曲面可以通过补面来使用Gauss公式

4.II类曲面积分的转化

$二重积分$$投影$ $I类曲面积分$$cos\alpha ，cos\beta ，cos\gamma {\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy补面，Gauss$ $三重积分$